Matematyka.pl

Dany jest ciąg określony wzorem rekurencyjnym \(\displaystyle{ a_{n+1}= \sqrt[3]{2-a_{n}}\text{ } n\in \mathbb{N}}\), a pierwszy wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_{0}\in [-6,2]}\).
Zbadaj zbieżność ciągu i jego granicę.

Wiem że jeśli granica istnieje, musi być punktem stałem \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[3]{2-a_{x}}=x \Rightarrow x =1}\).
Ten ciąg zaczyna oscylować, i tu mam problem bo nie umiem pokazać że "parzysty" i "nieparzysty" podciąg jest malejący/rosnący i ograniczony.

Patrząc na kilka pierwszych wyrazów można zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ a_n \ge 1}\) to \(\displaystyle{ a_{n+1}\le 1}\) i vice versa oraz \(\displaystyle{ |a_n-1|}\) jest malejący. Pozostaje to pokazać i zastosować do udowodnienia że "parzysty" i "nieparzysty" podciąg jest malejący/rosnący i ograniczony.

W zasadzie można od razu rozpisać ze wzoru na różnicę sześcianów:

\(\displaystyle{ \left| a_{n+1} - 1 \right| = \frac{ |1-a_n| }{ \left| 1 + \sqrt[3]{2-a_n} + \sqrt[3]{2-a_n}^2 \right| }}\)

i stąd wywnioskować, jak się zachowuje \(\displaystyle{ |a_n-1|}\) i jakie muszą zajść warunki, aby to zachowanie było takie, jak chcemy.