Układ trzech równań oraz równanie w liczbach całkowit

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
_Karol_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 8 paź 2007, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Narol Wieś
Podziękował: 1 raz

Układ trzech równań oraz równanie w liczbach całkowit

Post autor: _Karol_ » 8 paź 2007, o 16:57

Interesuje mnie rozwiązanie kilku równań, najlepiej z wyjaśnieniem co i jak bo nic nie rozumiem:
1. Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x(y+z)=5\\y(x+z)=10\\z(x+y)=13 \end{array}}\)

2.Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie:]
\(\displaystyle{ x(y+1)^{2}=243y}\)

Przez te zadania zepsułem sobie cały weekend. Potrzebuję ich rozwiązań na jutro lub wcześniej.
Z góry dzięki!

Temat poprawiłam, ale zapoznaj się z Regulaminem. Kasia
Ostatnio zmieniony 9 paź 2007, o 10:12 przez _Karol_, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Układ trzech równań oraz równanie w liczbach całkowit

Post autor: Sylwek » 8 paź 2007, o 17:06

1) Nie mam żadnego odkrywczego pomysłu, więc wymnażamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(y+z)=5\\y(x+z)=10\\z(x+y)=13 \end{cases} \\ \begin{cases}xy+xz=5 \\ xy+yz=10 \\ xz+yz=13 \end{cases}}\)

Dodajemy równania 1 i 2, odejmujemy od nich trzecie i tak kilka kombinacji, wychodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}xy=1 \\ xz=4 \\ yz=9 \end{cases}}\)

To już można metodą podstawiania, na przykład:

\(\displaystyle{ y=\frac{1}{x} \\ \begin{cases} xz=4 \\ \frac{z}{x}=9 \end{cases} \\ \begin{cases} xz=4 \\ z=9x \end{cases} \\ x 9x=4 \\ x^2=\frac{4}{9} \\ x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{3} \\ z=6 z=-6 \\ y=\frac{3}{2} y=-\frac{3}{2}}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \begin{cases}x=\frac{2}{3} \\ y=\frac{3}{2} \\ z=6 \end{cases} \begin{cases}x=-\frac{2}{3} \\ y=-\frac{3}{2} \\ z=-6 \end{cases}}\)


2) Najpierw należy zauważyć, że korzystając z algorytmu Euklidesa:
\(\displaystyle{ NWD(y+1, \ y)=NWD(y+1-y, \ y)=NWD(1,y)=1}\)

Przekształcamy to teraz do poniższej postaci. Wiadomo, że x jest całkowite, gdy licznik jest wielokrotnością mianownika:
\(\displaystyle{ x=\frac{243y}{(y+1)^2}= \frac{3^5y}{(y+1)^2} \\ y+1=3^n \\ ( \ (y+1)^2=3^{2n} 3^{2n} q 3^5 n \mathbb{N}) (n=1 n=2) \\ y+1=3 y+1=9 \\ y=2 y=8 \\ x=\frac{243 2}{(2+1)^2}=54 x=\frac{243 8}{(8+1)^2}=24}\)

Odpowiedź: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=54 \\ y=2 \end{cases} \begin{cases} x=24 \\ y=8 \end{cases}}\)

ODPOWIEDZ