Matematyka.pl

Dana jest funkcja charakterystyczna:

\(\displaystyle{ \Phi(t) = \frac{5 + 7 cos(t)}{9}}\)

Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej.

Liczę sobie:
\(\displaystyle{ \Phi(t) = \frac{5}{9} + \frac{7}{18} e^{it} + \frac{7}{18} e^{-it}}\)

Wygląda, że rozkład nie jest dyskretny więc chciałabym spróbować wyznaczyć gęstość. Jest wzór:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \Phi(t) \mbox{d}t}\)

Czyli po przekształceniach:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \pi } \int_{-\infty}^{\infty} \frac{5}{9}e^{itx} + \frac{7}{18} e^{it(x+1)} \frac{7}{18} e^{it(x-1)} \mbox{d}t}\)

No i tą całkę jakoś policzę traktując i jak stałą, ale nie wiem jak mam podstawić te granice całkowania.

\(\displaystyle{ \lim_{ t \to \infty } \frac{e^{itx}}{ix} = ...}\)

Będę wdzięczna za pomoc i każdą wskazówkę

Przekształcenie odwrotne

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ \phi(t)}\) jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) i całka \(\displaystyle{ \int_{\RR} |\phi(t)|< \infty,}\) to

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\RR} e^{-it\cdot x}\phi(t)dt .}\)

Proszę uwzględnić minus w wykładniku potęgi i scałkować w przedziale \(\displaystyle{ t\in (-\infty, \infty).}\)

Rzeczywiście, jeszcze minus.

No i właśnie tego nie umiem zrobić...
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx} \mbox{d}t = \left[ \frac{e^{-itx}}{-ix} \right]_{-\infty}^{\infty} = \frac{1}{-ix}\left[ 0 - \infty \right]}\) ???
Coś jest nie tak..

Jest to wartość główna (PV) całki Cauchy równa zeru.

Oblicza się ją rozwijając funkcję \(\displaystyle{ \frac{e^{-itx}}{tx}}\) w szereg Taylora - Maclaurina i całkując
po pierścieniu w płaszczyźnie zespolonej Gaussa.

W porządku, a da się jakoś prościej? W sensie bez narzędzi analizy zespolonej, bo tego jeszcze nie miałam.

Druga sprawa, że z tym zadaniem to jest chyba coś nie tak bo \(\displaystyle{ \Phi(0) \neq 1}\)

Całkę obliczamy w dziedzinie zespolonej.

Rzeczywiście \(\displaystyle{ \phi(0) = \frac{12}{9} \neq 1.}\)

Ta funkcja nie jest funkcją charakterystyczną.