Matematyka.pl

Dana jest ciągła funkcja \(\displaystyle{ f:[1,4] \rightarrow \RR}\) taka, że
\(\displaystyle{ f(1) = 0 \\ f(2) = 2 \\ f(3) = 2 \\ f(4) = 3}\)

1) Zapisz w bazie Newtona wielomian interpolacyjny Lagrange'a \(\displaystyle{ w}\) dla \(\displaystyle{ f}\), oparty na punktach \(\displaystyle{ \{x_{i}\}^{4}_{i=1}}\).
2) Co można powiedzieć o błędzie aproksymacji \(\displaystyle{ f}\) przez \(\displaystyle{ w}\) w normie supremum na \(\displaystyle{ [1,4]}\)? (Wskazówka: Nie zakładaj dodatkowej gładkości \(\displaystyle{ f}\))

Na początku chciałbym się dowiedzieć co oznacza "w bazie Newtona". Czy to jest tak, że mam wzór \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{4} b_{i} *p_{i}(x)}\) i podstawiam:
Dla bazy Newtona:
\(\displaystyle{ p_{i}(x) = \prod_{j = 0}^{i-1} (x - x_{j}) \\ b_{i} = f[x_{0}, ..., x_{i}]}\)

Dla bazy Lagrange'a:
\(\displaystyle{ p_{i}(x) = \prod_{j = 0}^{n} ( \frac{x - x_{j} } {x_{i} - x_{j}}) \\ b_{i} = f(x_{i})}\)


Podstawiając do wzoru rzeczy z bazy Newtona, otrzymałem:
\(\displaystyle{ w(x) = \frac{x^{3}}{2} - 4x^2 + \frac{21x}{2} - 7}\)

Jak teraz rozwiązać drugą część zadania??

Jak obliczamy błąd w metodzie interpolacji Lagrange'a?

Czy chodzi o wzór \(\displaystyle{ \frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!} \cdot p_{n}(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ n+1}\) to liczbą węzłów (u nas 4) oraz:

\(\displaystyle{ p_{3}(x) = (x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}\)

natomiast nie wiem co z tym dalej zrobić.

Wracając jeszcze do pierwszego punktu, to czy jest on poprawnie rozwiazany?

Nie chodzi o ten wzór, bo nie ma Pan danego jawnego wzoru funkcji \(\displaystyle{ f}\) tylko jej wartości w czterech węzłach.

Za błąd aproksymacji przyjmujemy

\(\displaystyle{ |p_{3}(x) - f(x)| = \max_{i=0,1,2,3}|p(x_{i})- f(x_{i})|.}\)

Postać wielomianu interpolacyjnego jest poprawna.