Krzywizna, skręcenie

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
wiersonka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 9 lut 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gryfino

Krzywizna, skręcenie

Post autor: wiersonka » 9 lut 2019, o 21:32

Cześć, potrzebuje pomocy przy zadaniu:
Wyznaczyć iloczyn mieszany \(\displaystyle{ \{t',t'',t'''\}}\) w terminach krzywizny i skręcenia.
Ostatnio zmieniony 10 lut 2019, o 00:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5153
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1132 razy

Krzywizna, skręcenie

Post autor: janusz47 » 11 lut 2019, o 21:24

Krzywizna

\(\displaystyle{ \kappa^2 = \langle T' T'\rangle, \ \ T = x^{'},}\)

\(\displaystyle{ \kappa^2 = \langle x^{''} x^{''} \rangle .}\)

Skręcenie (torsja)

Z równania Freneta-Serreta

\(\displaystyle{ \tau = - (N, B') = -(N, T\times N)' ).}\)

Z tożsamości Leibniza dla iloczynu wektorowego

\(\displaystyle{ \tau = - \langle N, T' \times N'\rangle - \langle N, T \times N'\rangle = -\langle N, T\times N' \rangle.}\)

Z definicji skręcenia krzywej

\(\displaystyle{ \tau = -\langle N, T\times N' \rangle =-\langle \kappa^{-1}, x' \times (k^{-1} x^{''})'\rangle.}\)

Uwzględniając iloczyn mieszany jako zorientowaną objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach
\(\displaystyle{ a, b, c}\)

\(\displaystyle{ (a,b,c) = (a, b\times c) = det( a, b, c), \ \ a,b,c \in \RR^3.}\)


\(\displaystyle{ \tau = \frac{(x' x^{''} x^{'''})}{\kappa^2} = \frac{(x' x^{''} x^{'''})}{\langle x^{''} x^{''}\rangle }.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ (x^{'} x^{''} x^{'''}) = \tau \cdot \kappa^2.}\)

ODPOWIEDZ