Znajdź odpowiedź impulsową. Jak obliczyć? - Wyjaśnienie

Malwa1x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 12 sty 2018, o 19:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy

Znajdź odpowiedź impulsową. Jak obliczyć? - Wyjaśnienie

Post autor: Malwa1x » 8 lut 2019, o 01:32

Witam.
Proszę o pomoc przede wszystkim w wytłumaczeniu jak dokończyć dane zadanie, jakie kroki wykonać.
Sama potrafię je zrobić do momentu wyliczenia p,q delty oraz f(x), dalej po prostu nie wiem skąd co się bierze. Zakres materiału jest z Automatyki ale ponoć jest to proste zadanie.

Układ wygląda tak:



>(X)----[\(\displaystyle{ frac{1}{s+1}}\)]--- *-----
|
|
--------------[\(\displaystyle{ frac{1}{4s+4}}\)]--

\(\displaystyle{ Kz= \frac{\frac{1}{s+1}}{1+ \frac{1}{s+1} \cdot \frac{1}{4s+4} }= \frac{ \frac{1}{s+1} }{1+ \frac{1}{(s+1)(4s+4)} } \cdot \frac{(s+1)(4s+4)}{(s+1)(4s+4)}= \frac{4s+4}{(s+1)(4s+4)+1} = \frac{4s+4}{4s^2+4s+4s+4+1} = \frac{4s+4}{4s^2+8s+5}}\)

\(\displaystyle{ \Delta =b^2-4ac}\)

\(\displaystyle{ \Delta =8^2-4 \cdot 4 \cdot 5=64-80=-16}\)

\(\displaystyle{ f(x)=a(x-p)^2+q}\)

\(\displaystyle{ p= \frac{-b}{2a}}\)

\(\displaystyle{ q= \frac{-\Delta }{4a}}\)

\(\displaystyle{ q= \frac{-(-16)}{4 \cdot 4}=1}\)

\(\displaystyle{ p= \frac{-8}{8}=-1}\)

\(\displaystyle{ 4s^2+8s+5=4(s+1)^2+1}\)

\(\displaystyle{ Kz= \frac{4(s+1)}{4(s+1)^2+1}= \frac{s+1}{(s+1)^2+ \frac{1}{4} }}\)

\(\displaystyle{ \omega = 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{s-\sigma}{(s-\sigma)^2+\omega^2} \rightarrow \epsilon^\sigma^t \cos \omega t}\)

Odp.
\(\displaystyle{ \epsilon^-^t \cos \frac{1}{4}t}\)


Z góry bardzo dziękuję za udzielona pomoc.
Pozdrawiam

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5281
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1156 razy

Znajdź odpowiedź impulsową. Jak obliczyć? - Wyjaśnienie

Post autor: janusz47 » 8 lut 2019, o 11:21

Znaleźliśmy transmitancję \(\displaystyle{ K(s)}\) przedstawionego na rysunku pewnego układu automatyki na odpowiedź impulsową:

\(\displaystyle{ K(s) = \frac{4s+4}{4s^2 +8s +5}}\)

Aby uzyskać odpowiedź w dziedzinie czasowej \(\displaystyle{ t}\) musimy dokonać przekształcenia odwrotnego Laplace'a. W tym celu sprowadziliśmy trójmian występujący w mianowniku do postaci kanonicznej

\(\displaystyle{ 4s^2 +8s + 5 =4[(s+1)^2 + \frac{1}{4}]}\) żeby móc skorzystać z tablicy odwrotnego przekształcenia Laplace'a, z którą się proszę zpoznać.

Wyłączono \(\displaystyle{ 4}\) z licznika i mianownika transformaty \(\displaystyle{ K(s)}\) i uzyskano

\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{s+1}{(s+1)^2 +\frac{1}{4}}\right)}\)

Porównano ze wzorem odwrotnego przekształcenia Laplace'a dla oryginału:

\(\displaystyle{ \mathcal{L}^{-1}\left( \frac{s+1}{(s+1)^2 +\frac{1}{4}}\right)= e^{-t}\cdot \cos(\left(\frac{1}{4}t\right).}\)

Malwa1x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 12 sty 2018, o 19:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 8 razy

Re: Znajdź odpowiedź impulsową. Jak obliczyć? - Wyjaśnienie

Post autor: Malwa1x » 17 lut 2019, o 21:02

janusz47, Super, bardzo, bardzo dziękuję za pomoc i szczegółowe wyjaśnienie.
Bardzo mi się ta pomoc przydała. Pozdrawiam i życzę wszystkiego dobrego.

ODPOWIEDZ