Matematyka.pl

Dana jest macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\3&0&1\end{array}\right]}\)
odwzorowania \(\displaystyle{ F : \RR^{3} \rightarrow \RR^{2}}\) w bazach \(\displaystyle{ A = \{(-2, 3, 2),(-4, 6, 3),(3, -4, -2)\}}\) i \(\displaystyle{ B = \{(-1, 1),(1, 0)\}}\) .
Wyznaczyć wzór odwzorowania \(\displaystyle{ F}\) . Obliczyć \(\displaystyle{ F((-1, 1, 1))}\) .
Czy odwzorowanie \(\displaystyle{ F}\) jest różnowartościowe? Czy jest "na"?

1.
Na podstawie danej macierzy, znajdujemy postać odwzorowania liniowego w bazie kanonicznej.

2.
Korzystamy z definicji odwzorowania liniowego:

Jeśli dane są dwie dowolne bazy przestrzeni wektorowych: \(\displaystyle{ V, \ \ V'}\)

\(\displaystyle{ V \in B = (b_{1}, b_{2},...,b_{n}), \ \ V'\in C = (c_{1}, c_{2},...,c_{m}),}\)

to \(\displaystyle{ j -}\) ta kolumna macierzy odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ M= [a_{ij}]}\) dana jest równaniem:

\(\displaystyle{ f(b_{j}) = a_{1j}c_{1}+ a_{2j}c_{2}+...+a_{mj}c_{m}.}\)