Matematyka.pl

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ \left\{ I_{k}\right\}_{k \in K}}\) są ideałami pierścienia \(\displaystyle{ P}\), to \(\displaystyle{ \bigcap_{k \in K}I_{k}}\) jest ideałem pierścienia \(\displaystyle{ P}\).

Mam problem z powyższym zadaniem. Jestem w stanie udowodnić to indukcyjne jeżeli, \(\displaystyle{ K = \mathbb{N}}\), ale w tym zadaniu \(\displaystyle{ K}\) chyba może być nawet mocy \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). Czego mam tutaj użyć? Myślałem o użyciu aksjomatu wyboru ale szczerze to kompletnie nie wiem jak zacząć.

Czy tam nie powinno być przecięcie?

Dokładnie tak, już poprawiłem.

A umiesz nie wiem udowodnić, że przecięcie grup jest grupą, przecięcie przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową, przecięcioe sigma- ciał jest sigma - ciałem ? To wszystko są te same schematy, żadnej indukcji tu nie potrzeba

Chodzi ci o udowodnienie, że z faktu że \(\displaystyle{ I_{1}, I_{2}}\) są ideałami pierścienia P wynika, że \(\displaystyle{ I_{1}\cap I_{2}}\) jest ideałem P? Umiem to udowodnić, dowód tego jest szybki. Ale w poleceniu każą udowodnić dla rodziny a nie.

Moje pytanie brzmi - czy udowadniałeś kiedyś podobny fakt dla rodziny grup, rodziny przestrzeni liniowych, rodziny sigma-ciał itp.

No tego nie robiłem.

No to chcesz pokazać np. że dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) należącego do przecięcia i dowolnego \(\displaystyle{ t \in P}\), również \(\displaystyle{ t \cdot x}\) należy do przecięcia.
Ale skoro x należy do przecięcia do należy do \(\displaystyle{ I_k}\) dla każdego \(\displaystyle{ k \in K}\).
Z definicji ideału zatem dla każdego k \(\displaystyle{ t \cdot x \in I_k}\).Wniosek?
\(\displaystyle{ t \cdot x}\) należy do przecięcia

A no to już widzę jak to zrobić, dzięki.

terechsan pisze:

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ \left\{ I_{k}\right\}_{k \in K}}\) są ideałami pierścienia \(\displaystyle{ P}\), to \(\displaystyle{ \bigcap_{k \in K}I_{k}}\) jest ideałem pierścienia \(\displaystyle{ P}\).

Mam problem z powyższym zadaniem. Jestem w stanie udowodnić to indukcyjne jeżeli, \(\displaystyle{ K = \mathbb{N}}\)

Dla \(\displaystyle{ K = \NN}\) tego nie da się udowodnić indukcją.