Matematyka.pl

Czołem,

To mój pierwszy post na tym forum, witam zatem wszystkich użytkowników serdecznie. Przygotowuje się do zaliczenia ostatniego egzaminu na studiach, a tym samym do pokonania "final bossa", stąd moja aktywność tutaj.
Na ostatnim egzaminie pojawiło się następujące zadanie i chciałbym rozwiać wątpliwości, czy wykonałem je dobrze, czy źle.

Zadanie brzmiało:
Przedstaw sygnał f(t) za pomocą Trygonometrycznego Szeregu Fouriera w postaci zwartej, naszkicuj widmo amplitudy i fazy.

Funkcja:
\(\displaystyle{ y=x, x \in \left\langle -5,-3\right\rangle, \left\langle -1,1\right\rangle, \left\langle 3,5\right\rangle,}\)

Ze względu na brak ciągłości funkcji, napisałem, iż nie spełnia ona warunku silnego Dirichleta. Czy była to dobra odpowiedź, czy owe zadanie powinienem rozwiązać inaczej?

Pozdrawiam
Maks

Przedstaw swoje rozwiązanie.

Wykonujemy rysunek sygnału \(\displaystyle{ y(x) = x}\)na przedziale \(\displaystyle{ <-1, 1>}\) i przedłużamy na przedziały \(\displaystyle{ <-5, -3>}\) oraz \(\displaystyle{ < 3, 5 >.}\)

Sygnał jest funkcją nieparzystą, więc rozwijamy go w trygonometryczny szereg Fouriera według sinusów.

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją okresową o okresie \(\displaystyle{ T = 2l= 1 - (-1) = 2, \ \ l=1.}\)

\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{2}{1}\int_{0}^{1}x\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx +\frac{2}{1}\int_{4}^{5}x\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right )dx \ \ n =1,2,...,}\)

Sprawdzamy warunki Lejeune Dirichleta:

D1
W punktach ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) szereg Fouriera jest zbieżny do samej funkcji.

D2
W każdym punkcie \(\displaystyle{ x_{i}}\) nieciągłości funkcji szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej jednostronnych granic funkcji

\(\displaystyle{ S(x_{i}) =\frac{1}{2}\left[ \lim_{x\to x_{i}^{-}}f(x) + \lim_{x\to x_{i}^{+}}f(x)\right]}\)

D3
Na krańcach przedziału \(\displaystyle{ ... [-1, 1 ], \ \ [3, 5]}\) szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej jednostronnych. przy argumencie \(\displaystyle{ x}\) zmierzającym do tych punktów od wewnątrz przedziału:

\(\displaystyle{ S(-1) = S(1) = \frac{1}{2}\left[\lim_{ x\to -1^{+}} f(x) + \lim_{x\to 1^{-}}f(x) .\right]}\)

Maks63 pisze:Czołem,

Funkcja:
\(\displaystyle{ y=x, x \in \left\langle -5,-3\right\rangle, \left\langle -1,1\right\rangle, \left\langle 3,5\right\rangle,}\)

Pozdrawiam
Maks

czy to są trzy funkcje, czy jedna, dla której wartości w przedziałach \(\displaystyle{ \left\langle -3,-1\right\rangle}\), \(\displaystyle{ \left\langle 1,3\right\rangle}\) są dowolne ?

Moja odpowiedź brzmiała: sygnał f(t) nie spełnia warunku silnego aproksymacji, gdyż jest nieciągły.
Obawiam się jednak, że źle przeanalizowałem kwestię granic, które najwidoczniej istnieją, mimo że sygnał jest przerywany.

Zadanie dosłownie wyglądało tak:

Nie zrozumiałeś warunków Dirichleta, o ile je wcześniej znałeś.