Wyznacz rozpływy prądów w obwodzie (zad2.1)

g00ntar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 lut 2019, o 17:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wałcz
Podziękował: 3 razy

Wyznacz rozpływy prądów w obwodzie (zad2.1)

Post autor: g00ntar » 4 lut 2019, o 19:01

Staram się zrozumieć przykład z książki i wydaje mi się że ominieto zbyt wiele etapów rozwiązywania tego zadania. Był bym wdzięczny gdyby ktoś uzupełnił "brakujace" elementy.
Na początek wpiszę całe zadanie a następnie wypisze co zrozumiałem i na końcu czego nie rozumiem.
Schemat obwodu na EasyEDA
1. Zadanie


Dane:
\(\displaystyle{ i(t)=5\sqrt{2}\sin(1000t)A}\)
\(\displaystyle{ R=10\Omega}\)
\(\displaystyle{ C=10^{-4}F}\)
\(\displaystyle{ L=5\cdot10^{-3}H}\)

Rozwiązanie:
Wartości symboliczne elementów obwodu:
\(\displaystyle{ \omega=1000}\)
\(\displaystyle{ I=5}\)
\(\displaystyle{ Z_{L}=j\omega L=j5}\)
\(\displaystyle{ Z_{C}=\frac{1}{j\omega C}=-j10}\)
Impedancje obwodu RLC:
\(\displaystyle{ Y=\frac{1}{R}+\frac{1}{Z_{L}}+\frac{1}{Z_{C}}=0,1-j0,1}\)
\(\displaystyle{ Z=\frac{1}{Y}=\frac{10}{\sqrt{2}}e^{j45^{o}}}\)
Prądy i napięcie w obwodzie:
\(\displaystyle{ U=ZI=\frac{50}{\sqrt{2}}e^{j45^{o}}}\)
\(\displaystyle{ I_R=\frac{U}{R}=\frac{5}{\sqrt{2}}e^{j45^{o}}}\)
\(\displaystyle{ I_L=\frac{U}{Z_L}=\frac{10}{\sqrt{2}}e^{-j45^{o}}}\)
\(\displaystyle{ I_C=\frac{U}{Z_C}=\frac{5}{\sqrt{2}}e^{j135^{o}}}\)
Wartości chwilowe pradów i napiecia:
\(\displaystyle{ u(t)=50(1000t+45^{o})}\)
\(\displaystyle{ i_R(t)=5(1000t+45^{o})}\)
\(\displaystyle{ i_L(t)=10(1000t-45^{o})}\)
\(\displaystyle{ i_C(t)=5(1000t+135^{o})}\)

2. Co rozumiem i potrafię rozwiązać:
Przy pomocy wzoru
\(\displaystyle{ i(t)=I_{max}\sin(\omega t+\alpha_{i}) \rightarrow \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}e^{j\alpha_i}}\)
otrzymuje:
\(\displaystyle{ I_{max}=5\sqrt{2} \rightarrow I=5}\)
\(\displaystyle{ \omega=1000}\)
\(\displaystyle{ \alpha_i=0}\)

Obliczenia:
\(\displaystyle{ Z_L=j\omega L=j \cdot 1000 \cdot 5 \cdot 10^{-3}=j5}\)
\(\displaystyle{ Z_{C}=\frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{j} \cdot \frac{1}{1000 \cdot 10^{-4}}=-j \cdot \frac{1}{\frac{1}{10}}=-j10}\)

I w tym momencie przestają zgadzać się obliczenia
\(\displaystyle{ Y=\frac{1}{R}+\frac{1}{Z_L}+\frac{1}{Z_C}}\)
\(\displaystyle{ Y=\frac{1}{10}+\frac{1}{j5}+\frac{1}{-j10}}\)
\(\displaystyle{ Y=\frac{1}{10}+\frac{1}{j} \cdot \frac{1}{5}-\frac{1}{j} \cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{10}-j\frac{1}{5}+j\frac{1}{10}=\frac{1}{10}+j\frac{1}{5}}\)
Nie wiem gdzie robię błąd

Druga sprawa jak z formy
\(\displaystyle{ Y=\frac{1}{10}-j\frac{1}{10} \rightarrow Z=\frac{1}{Y}=\frac{1}{\frac{1}{10}-j\frac{1}{10}}}\)
\(\displaystyle{ Z=\frac{\frac{1}{10}+j\frac{1}{10}}{(\frac{1}{10}+j\frac{1}{10})(\frac{1}{10}-j\frac{1}{10})}=\frac{1+j}{\frac{1}{10}+j^2\frac{1}{10}}=\frac{1+j}{\frac{2}{10}}=\frac{10+j10}{2}}\)
otrzymać
\(\displaystyle{ Z=\frac{10}{\sqrt{2}}e^{j45}}\)

Z góry dziękuje za pomoc.
Ostatnio zmieniony 5 lut 2019, o 08:56 przez g00ntar, łącznie zmieniany 2 razy.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5279
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1156 razy

Wyznacz rozpływy prądów w obwodzie (zad2.1)

Post autor: janusz47 » 4 lut 2019, o 23:08

Przewodność zespolona obwodu:

\(\displaystyle{ \hat{Y}= \frac{1}{10}+\frac{1}{5j}- \frac{1}{10j}}\)

\(\displaystyle{ \hat{Y}= \frac{j + 2 -1}{10j}= \frac{1 +j}{10j} = \frac{j(1+j)}{10j^2}= \frac{-1 +j}{-10}= \frac{1}{10}-\frac{1}{10}j}\)

Impedancja zespolona obwodu

\(\displaystyle{ \hat{Z} = \frac{1}{\hat{Y}} = \frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{10}j}}\)

\(\displaystyle{ \hat{Z}= \frac{10}{1-j} = \frac{10(1+j)}{(1-j)(1+j) }= \frac{10(1+j)}{1^2-j^2}= \frac{10}{2}(1+j)= 5(1+j).}\)

\(\displaystyle{ Arg(\hat{Z}) = Arg(1+j) = \phi:}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos(\phi) = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin(\phi) = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \phi = 45^{o}}\)

\(\displaystyle{ |\hat{Z}| =5\sqrt{1^2+1^2} = 5\sqrt{2} = \frac{10}{\sqrt{2}}.}\)

Postać wykładnicza impedancji zespolonej obwodu:

\(\displaystyle{ \hat{Z} = 5\sqrt{2}\cdot e^{j\cdot 45^{o}}.}\)

g00ntar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 lut 2019, o 17:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wałcz
Podziękował: 3 razy

Re: Wyznacz rozpływy prądów w obwodzie (zad2.1)

Post autor: g00ntar » 5 lut 2019, o 17:43

Dziękuję za odpowiedź.
Jednak nadal mam pytania.
Skąd wiadomo że \(\displaystyle{ cos{\phi}=\frac{1}{\sqrt{2}}}\) ?
wolframalpha rzeczywiście daje jako rozwiązanie \(\displaystyle{ Arg(1+j)=45^{o}}\)
Jednak nijak nie jestem wstanie tego odnieść do podręcznika.
Jako podręcznik do przedmiotu Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki wskazano mi opracowanie niemalże takie jak po linkiem (na razie nie znalazłem różnic z tym że to jest dostępne w internecie także mogę wstawić link).
Jak poprzednio dziękuje za pomoc.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5279
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1156 razy

Re: Wyznacz rozpływy prądów w obwodzie (zad2.1)

Post autor: janusz47 » 5 lut 2019, o 18:41

Z obliczenia wartości argumentu głównego \(\displaystyle{ Arg(z)= \phi}\) liczb zespolonych spełniającego układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos(\phi}) \frac{Re(z)}{|z|}} \\ \sin(\phi) = \frac{Im(z)}{|z|} \end{cases}}\)

Proszę przed przystąpieniem do rozwiązywania obwodów elektrycznych metodą symboliczną nauczyć się działań na liczbach zespolonych.

W tym celu proponuję na przykład podręcznik:

Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz elementy analizy zespolonej. WNT Warszawa 1981.
lub
Franciszek Leja. Funkcje zespolone Wydanie czwarte. PWN Warszawa 1977.

ODPOWIEDZ