Ścisła wypukłość zbioru
: 4 lut 2019, o 12:06
Spotkał się ktoś z was z definicją ściśle wypukłego zbioru opartą o normę ?
Chodzi o to, że definicję takiego zbioru jaką znam to taka, że odcinek między dowolnymi elementami takiego zbioru powinien zawierać się we wnętrzu tego zbioru. Co znaczy, że np żaden wielokąt nie będzie ściśle wypukły, ale np koło już tak.
Definicja przestrzeni unormowanej ściśle wypukłej bazuje na normie tzn
jeśli \(\displaystyle{ \Vert x\Vert \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ \Vert y\Vert \le 1}\)
to
\(\displaystyle{ \Vert x+y\Vert < 2}\). A więc możemy mieć różne normy i w jednej będzie to przestrzeń ścisle wypukła a w innej nie.
I teraz pytanie moje jest takie, czy można definicję przestrzeni ściśle wypukłej przenieść na dowolny zbiór ?
Spotkałem się z takim zapisem, że możemy zbiór potraktować jako podprzestrzeń unormowaną, ale jak dla mnie to jest bez sensu, bo przecież taki zbiór nie musi być w ogóle podprzestrzenią liniową więc jak można go traktować jako podprzestrzeń unormowaną ? No i gdyby takie coś przyjąć za prawdę to oznaczało by że zbiór może być ściśle wypukły z jedną normą a z inną nie, a to też nijak nie ma się do definicji którą napisałem powyżej a z której wynika że nie wymaga ona w ogóle normy.
Chodzi o to, że definicję takiego zbioru jaką znam to taka, że odcinek między dowolnymi elementami takiego zbioru powinien zawierać się we wnętrzu tego zbioru. Co znaczy, że np żaden wielokąt nie będzie ściśle wypukły, ale np koło już tak.
Definicja przestrzeni unormowanej ściśle wypukłej bazuje na normie tzn
jeśli \(\displaystyle{ \Vert x\Vert \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ \Vert y\Vert \le 1}\)
to
\(\displaystyle{ \Vert x+y\Vert < 2}\). A więc możemy mieć różne normy i w jednej będzie to przestrzeń ścisle wypukła a w innej nie.
I teraz pytanie moje jest takie, czy można definicję przestrzeni ściśle wypukłej przenieść na dowolny zbiór ?
Spotkałem się z takim zapisem, że możemy zbiór potraktować jako podprzestrzeń unormowaną, ale jak dla mnie to jest bez sensu, bo przecież taki zbiór nie musi być w ogóle podprzestrzenią liniową więc jak można go traktować jako podprzestrzeń unormowaną ? No i gdyby takie coś przyjąć za prawdę to oznaczało by że zbiór może być ściśle wypukły z jedną normą a z inną nie, a to też nijak nie ma się do definicji którą napisałem powyżej a z której wynika że nie wymaga ona w ogóle normy.