Strona 1 z 1
Wykaż, że dla każdej liczby
: 4 lut 2019, o 11:59
autor: max123321
Niech \(\displaystyle{ f(z)= \frac{z}{e^z}}\) dla \(\displaystyle{ z\in \CC}\).
a)Wykaż, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ w \in K\left( 0, \frac{1}{e} \right)}\) równanie \(\displaystyle{ f(z)=w}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
b)Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest różnowartościowa na kole \(\displaystyle{ K(0,e)}\).
Jak zrobić a)?
Wykaż, że dla każdej liczby
: 4 lut 2019, o 23:48
autor: Dasio11
max123321 pisze:a)Wykaż, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ w \in K\left( 0, \frac{1}{e} \right)}\) równanie \(\displaystyle{ f(z)=w}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Dokładnie jedno rozwiązanie w
\(\displaystyle{ \CC}\) ? Wygląda na nieprawdę. Może chodzi o dokładnie jedno rozwiązanie w
\(\displaystyle{ K(0, 1)}\) ?
Jeśli tak, to przypomnij sobie (jeśli go widziałeś) dowód faktu, że jeśli
\(\displaystyle{ z_0}\) jest zerem
\(\displaystyle{ p}\)-krotnym różnicy
\(\displaystyle{ f(z) - f(z_0)}\), to funkcja
\(\displaystyle{ f(z)}\) jest
\(\displaystyle{ p}\)-krotna w otoczeniu punktu
\(\displaystyle{ z_0}\). Wystarczy powtórzyć ten dowód dla konkretnej funkcji
\(\displaystyle{ f(z) = \frac{z}{e^z}}\) i kół
\(\displaystyle{ |z| < 1}\),
\(\displaystyle{ |w| < \frac{1}{e}}\).
Re: Wykaż, że dla każdej liczby
: 13 lut 2019, o 22:28
autor: max123321
Tak chyba dokładnie jedno rozwiązanie w \(\displaystyle{ \CC}\). Coś jest z tym zadaniem nie tak, zostawmy, to. A jak zrobić b)?
Re: Wykaż, że dla każdej liczby
: 13 lut 2019, o 22:55
autor: Dasio11
Można to wywnioskować z faktu, że \(\displaystyle{ f'(1) = 0}\), albo stwierdzając, że \(\displaystyle{ f}\) jest dwukrotna w otoczeniu \(\displaystyle{ 1}\), albo patrząc na wykres \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0, 2]}\).
Re: Wykaż, że dla każdej liczby
: 14 lut 2019, o 11:40
autor: max123321
Aha no faktycznie jak pochodna wynosi zero w jakimś punkcie to w otoczeniu tego punktu muszą być jakieś punkty dla których wartości są te same. A można tu podać jakieś konkretne dwa punkty dla których funkcja przyjmuje te same wartości?