Matematyka.pl

Mamy dany rozkład łączny wektora \(\displaystyle{ (X, Y).}\) Mam problem z następującym zadaniem:

\(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{3}{2}(x ^{2}+y ^{2}) &\mbox{dla }x, y \in[0,1] \\ 0 &\mbox{dla }x, y \notin[0,1] \end{cases}}\)

Poleceniem jest znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej \(\displaystyle{ Z = X \cdot Y}\).

Wiem, że \(\displaystyle{ EX}\) dana jest wzorem:

\(\displaystyle{ EX = \int_{- \infty }^{ \infty } x \cdot f(x) dx}\)

gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rozkładem brzegowym \(\displaystyle{ x}\).

A wzór na rozkład brzegowy to:

\(\displaystyle{ f(x) = \int_{- \infty }^{ \infty } x \cdot f(x, y) dy.}\)

Czyli żeby obliczyć \(\displaystyle{ EZ}\), będę chyba potrzebował rozkładu brzegowego zmiennej \(\displaystyle{ Z}\). Ale nie mam pojęcia, po czym liczyłbym całkę (tzn. po jakiej zmiennej...) Czy mógłby ktoś mi pomóc? To dla mnie ważne.-- 3 lut 2019, o 22:28 --Bardzo proszę o pomoc. To dla mnie naprawdę ważne, potrzebuję tego. Jeżeli ktoś wie, jak rozwiązać to zadanie, to będę wdzięczny.

Jeśli zmienne losowe są niezależne, to

\(\displaystyle{ E(Z)= E(XY) = \int_{-\infty}^{\infty}}x\cdot f(x)dx \int_{-\infty}^{\infty}}y\cdot f(y)dy= E(X)\cdot E(Y).}\)

Jeśli zmienne losowe nie są niezależne, to

\(\displaystyle{ E(Z) = E(XY) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot y \cdot f_{(X,Y)}(x,y)dxdy.}\)-- 4 lut 2019, o 11:59 --Można też użyć funkcji generującej momenty \(\displaystyle{ M_{XY} = E\left[e^{t_{1}X +t_{2}Y}\right].}\)