[Liga maturalna] Seria 3 (08.10.07r.-14.10.07r.), wyniki

Historia, regulamin, zadania i oceny Konkursów oraz Ligi prowadzonej na Forum.
Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

[Liga maturalna] Seria 3 (08.10.07r.-14.10.07r.), wyniki

Post autor: bolo » 8 paź 2007, o 00:00

  1. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=Ax^{2}+x+B\ln(x).}\)
    1. Wyznacz \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\) jeśli wiemy, że \(\displaystyle{ f(1)=2, \, f^\prime(1)=4.}\)
    2. Dla jakich \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\) \(\displaystyle{ f}\) osiąga ekstremum w punktach \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=2\mbox}\)?
    3. Jakie muszą być \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\) aby \(\displaystyle{ f}\) była rosnąca na całej dziedzinie?
  2. Wykaż metodą indukcji, że dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) liczba \(\displaystyle{ m_{n}=3^{2n+1}+40n-67}\) jest podzielna przez 64. Potem uzasadnij, że gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ m_{n}}\) dzieli się przez 5.
  3. Chcemy sporządzić lejek w kształcie stożka o tworzącej równej \(\displaystyle{ 2\mbox{dm}.}\) Jaka powinna być jego wysokość, aby objętość była największa?
  4. Na okręgu umieszczono \(\displaystyle{ 10}\) liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_{j}}\) o sumie równej \(\displaystyle{ 100}\) ale tak, że po dodaniu dowolnych trzech kolejnych z nich, otrzyma się co najmniej \(\displaystyle{ 29.}\) Niech \(\displaystyle{ a}\) to będzie maksimum spośród wszystkich \(\displaystyle{ x_{j}.}\) Znajdź możliwie największa wartość \(\displaystyle{ a.}\)
__________

Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 14 października) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:

http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=42434

Zapraszamy. Powodzenia
Ostatnio zmieniony 1 sty 1970, o 01:00 przez bolo, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

[Liga maturalna] Seria 3 (08.10.07r.-14.10.07r.), wyniki

Post autor: bolo » 15 paź 2007, o 00:01

Tabela wyników:

\(\displaystyle{ \begin{array}{l|c|c|c|c|c}\hline\hline
\mbox{Nick} & \mbox{Zad. 1 (/6)} & \mbox{Zad. 2 (/5)} & \mbox{Zad. 3 (/4)} & \mbox{Zad. 4 (/5)} & \mbox{Suma (/20,\,(100\%))}\\
\hline
\mbox{*Kasia} & - & 5 & 3 & 5 & 13\mbox{pkt.}\,\,(65\%) \\
\mbox{altair3} & - & - & 3 & - & 3\mbox{pkt.}\,\,(15\%) \\
\mbox{luka52} & 6 & 5 & 3 & - & 14\mbox{pkt.}\,\,(70\%) \\
\mbox{robin5hood} & 4 & 5 & 4 & 5 & 18\mbox{pkt.}\,\,(90\%) \\
\mbox{Sylwek} & 6 & 5 & 4 & 5 & 20\mbox{pkt.}\,\,(100\%) \\
\mbox{Szemek} & - & 4 & - & - & 4\mbox{pkt.}\,\,(20\%) \\
\mbox{szydra} & 5 & 5 & 4 & 5 & 19\mbox{pkt.}\,\,(95\%) \\
\hline\hline\end{array}}\)


Wybrane nadesłane rozwiązania:
    1. Wyznaczamy stałe \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) z warunków zadania
      \(\displaystyle{ f(1) = 2 \iff A + 1 + B \cdot 0 = 2 \iff A = 1\\
      f'(x) = 2Ax + 1 + \frac{B}{x} \ \ \mbox{i} \ \ A = 1 \Rightarrow f'(x) = 2x + 1 + \frac{B}{x}\\
      f'(1) = 4 \iff 2 + 1 + \frac{B}{1} = 4 \iff B = 1}\)

      Stąd \(\displaystyle{ (A,B)=(1,1)}\).
    2. Przyrównujemy pochodne w danych punktach do zera
      \(\displaystyle{ f'(1) = 0 \ \mbox{i} \ f'(2) = 0 \iff \begin{cases} 2A + 1 + \frac{B}{1} = 0 \\ 4A + 1 + \frac{B}{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A = - \frac{1}{6} \\ B = - \frac{2}{3} \end{cases}}\)
      Następnie obliczamy drugą pochodną:
      \(\displaystyle{ f''(x) = 2 A - \frac{B}{x^2}}\)
      A następnie sprawdzamy, czy rzeczywiście dla wyliczonych wartości \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) w danych punktach funkcja osiąga ekstremum:
      \(\displaystyle{ f''(1) = \frac{1}{3} \neq 0, \quad f''(2) = - \frac{1}{6} \neq 0}\)
      Rzeczywiście, dla wyliczonych wartości \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga w danych punktach ekstremum.
    3. By funkcja była rosnąca w dziedzinie, musi być:
      \(\displaystyle{ \forall_{x \in (0; +\infty)} f'(x) \geqslant 0}\)
      Należy zatem rozwiązać nierówność:
      \(\displaystyle{ 2Ax + 1 + \frac{B}{x} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{2Ax^2 + x + B}{x} \geqslant 0}\)
      Ponieważ \(\displaystyle{ \forall_{x \in (0; +\infty)} x \geqslant 0}\), wystarczy rozważyć nierówność:
      \(\displaystyle{ 2Ax^2 + x + B \geqslant 0}\)

      Rozpatrzmy dwa przypadki:

      1° Nierówność jest liniowa
      tj. \(\displaystyle{ A = 0,}\) wtedy oczywiste jest, że \(\displaystyle{ B\geqslant 0}\).

      2° Nierówność jest kwadratowa
      wtedy:
      1. \(\displaystyle{ A>0}\) i \(\displaystyle{ \Delta>0}\)
        \(\displaystyle{ \Delta > 0 \iff 1 - 8AB > 0 B < \frac{1}{8A}}\)
      2. \(\displaystyle{ A>0}\) i \(\displaystyle{ \Delta\leqslant 0}\) i \(\displaystyle{ x_1, x_2 \leqslant 0}\)
        \(\displaystyle{ \Delta \leqslant 0 \iff 1 - 8AB \leqslant 0 \Rightarrow B \geqslant \frac{1}{8A}}\)
        i
        \(\displaystyle{ x_1 x_2 \geqslant 0 \Rightarrow \frac{B}{2A} \geqslant 0 \Rightarrow B \geqslant 0}\)
        i
        \(\displaystyle{ x_1 + x_2 \leqslant 0 \Rightarrow \frac{-1}{2A} \leqslant 0 \Rightarrow A > 0}\)
      Ostatecznie z 1° i 2° wynika, że \(\displaystyle{ A qslant 0 \ \mbox{i} \ B qslant 0.}\)
    1. \(\displaystyle{ T: \ 64|m_{n}}\)
      1. Sprawdzenie dla n=1:
        \(\displaystyle{ 3^{3}+80-107=0=64 0}\)
      2. Założenie indukcyjne:
        \(\displaystyle{ 3^{2k+1}+40k-67=64p}\)
      3. Teza indukcyjna:
        \(\displaystyle{ 3^{2(k+1)+1}+40(k+1)-67=64s}\)
      4. Dowód indukcyjny:
        \(\displaystyle{ L_{T}=3^{2(k+1)+1}+40(k+1)-67=\\=9 3^{2k+1}+40k+40-67=\\=9 3^{2k+1} + 9 40k - 8 40k - 9 67 + 40 + 8 67=\\=9(3^{2k+1}+40k-67)-320k+576=\\=9 64p-320k+576=\\=64(9p-5k+9)=\\=64s=P_{T}}\)
    2. \(\displaystyle{ T: m=2l-1 5|m_{n}}\)

      \(\displaystyle{ m_{l}=3^{4l-1}+80l-107}\)
      1. Sprawdzenie dla l=1:
        \(\displaystyle{ 3^{3}+40-67=0=64 0}\)
      2. Założenie indukcyjne:
        \(\displaystyle{ 3^{4k-1}+80k-107=5p}\)
      3. Teza indukcyjna:
        \(\displaystyle{ 3^{4(k+1)-1}+80(k+1)-107=5s}\)
      4. Dowód indukcyjny:
        \(\displaystyle{ L_{T}=3^{4(k+1)-1}+80(k+1)-107=\\=81 3^{4k-1}+80k+80-107=\\=3^{4k-1}+80k-107+80 3^{4k-1}+80=\\=5p+5 16 3^{4k-1} + 5 16=\\=5(p+16 3^{4k-1}+16)=\\=5s=P_{T}}\)
  1. Niech \(\displaystyle{ h}\) - wysokość lejka, \(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy lejka.
    Wtedy
    \(\displaystyle{ r=\sqrt{4-h^2}}\) dla h należącego do przedziału (0,2)
    Zatem objętość lejka to
    \(\displaystyle{ V(h)=\frac{1}{3}\pi ft(4-h^2\right)h}\)
    \(\displaystyle{ V'(h)=\frac{1}{3}\pi ft(-3h^2+4\right).}\)
    \(\displaystyle{ V'(h)=0}\) wtedy gdy \(\displaystyle{ h=\tfrac{2}{\sqrt{3}}}\) lub \(\displaystyle{ h=-\tfrac{2}{\sqrt{3}}}\) drugą możliwość odrzucamy, gdyż nie spełnia warunków zadania
    \(\displaystyle{ V''(h)=-2h\pi}\)
    \(\displaystyle{ V''\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}\)

Zablokowany