Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest funkcją i \(\displaystyle{ y}\) należy do obrazu zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X, A \neq \emptyset}\).
Wtedy na pewno zachodzi:

a) \(\displaystyle{ \forall x \in \left( X \setminus A\right):f\left( x\right) \neq y}\)
b) \(\displaystyle{ \exists x \in A:f\left( x\right)=y}\)
c) \(\displaystyle{ \forall x \in A: y \in f\left( x\right)}\)
d) \(\displaystyle{ y \in f\left( X\right)}\)

Które z powyższych zdań są prawdziwe?
Wydaje mi się, że pierwsze zdanie jest fałszywe (ponieważ nie jest powiedziane, że jakiś \(\displaystyle{ x}\) należący do zbioru \(\displaystyle{ X}\), ale nie należący do zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie może mieć wartości (swojego \(\displaystyle{ y}\)) w obrazie zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Zdanie b wydaje mi się prawdziwe, ponieważ oczywistym jest, że będzie istnieć jakiś \(\displaystyle{ x}\) ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) ze swoją wartością w obrazie \(\displaystyle{ A}\).

Zdania c nie za bardzo rozumiem, ponieważ \(\displaystyle{ y}\) jest elementem, tak samo jak \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\), a jak takie dwa elementy mogą do siebie należeć?

Zdanie d wydaje mi się prawdziwe, ponieważ \(\displaystyle{ y}\) należy do obrazu zbioru \(\displaystyle{ X}\).

Czy takie rozumowanie jest poprawne i co z podpunktem c?

Odpowiedzi dobre, uzasadnienia nie najlepsze.

hidden55 pisze:i co z podpunktem c?

Rzeczywiście, polecenie nie bardzo ma sens, chyba, że wiesz, że wartościami funkcji na elementach zbioru \(\displaystyle{ A}\) są zbiory.

Jakub Gurak pisze:Rzeczywiście, polecenie nie bardzo ma sens, chyba, że wiesz, że wartościami funkcji na elementach zbioru \(\displaystyle{ A}\) są zbiory.

Polecenie ma sens niezależnie od tego, czym są wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\). Pytanie jest o prawdziwość zdania "Na pewno zachodzi \(\displaystyle{ \forall x \in A: y \in f\left( x\right)}\)" i odpowiedź jest, że jest to zdanie fałszywe (z powodu niezgodności bytów). Przypuszczam, że mogło chodzić o to, czy student rozumie definicję, rozróżnia byty i potrafi stwierdzić ich niezgodność.

JK

W takim razie jakie uzasadnienia byłyby dobre?

W a) jest OK, ale można wskazać konkretny kontrprzykład. W b) stwierdzenie "oczywistym jest" jest zawsze podejrzane. Po prostu b) jest definicją tego, że \(\displaystyle{ y\in f(A)}\). W c) możesz napisać, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest elementem \(\displaystyle{ Y}\), a nie podzbiorem \(\displaystyle{ Y}\), więc nie można mówić o należeniu \(\displaystyle{ y}\) do \(\displaystyle{ f(x)}\). Kontrprzykład też działa. W d) stwierdzenie "\(\displaystyle{ y}\) należy do obrazu zbioru \(\displaystyle{ X}\)" jest puste, bo to jest przeczytanie tezy. Wystarczy np. napisać, że \(\displaystyle{ y\in f(A)}\) i \(\displaystyle{ f(A) \subseteq f(X)}\) (bo \(\displaystyle{ A \subseteq X}\)), więc \(\displaystyle{ y\in f(X)}\) (albo stwierdzić, że skoro \(\displaystyle{ y}\) należy do obrazu zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), to w szczególności jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f}\), więc należy do zbioru jej wartości, czyli \(\displaystyle{ f(X)}\)).

JK

Rozumiem, dziękuję za pomoc