Matematyka.pl

Konkretnie czy zbiór \(\displaystyle{ A = \left\{ x>0 : \sin \frac{1}{x}=0 \right\}}\) jest zbiorem domkniętym w \(\displaystyle{ \RR}\).
Jak zabrać się za takie zadanie? Wiem, że można do tego podejść przez sprawdzenie, czy zbiór \(\displaystyle{ \RR\setminus A}\) jest otwarty (logika podpowiada mi, że tak), ale nie wiem jak poprzeć to matematycznie poprawnym uzasadnieniem.

A czy granica ciągu \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n\pi}, n\ge 1}\), którego wyrazy są z \(\displaystyle{ A}\), należy do \(\displaystyle{ A}\)?

JK

Właśnie nie należy, granicą jest \(\displaystyle{ 0}\), jednak nie rozumiem, dlaczego wobec tego prawdą jest, że zbiór \(\displaystyle{ \RR \setminus A}\) jest zbiorem domkniętym.

\(\displaystyle{ \RR\setminus A}\) nie jest domknięty

Ale wynika z tego, że \(\displaystyle{ \RR \setminus A}\) nie jest otwarty (z definicji otwartości dla punktu \(\displaystyle{ 0}\)).