wzór na pole trójkąta - dowód

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
waliant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1801
Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 275 razy
Pomógł: 182 razy

wzór na pole trójkąta - dowód

Post autor: waliant » 29 sty 2019, o 18:36

Jest taki wzór na pole trójkąta o wierzchołkach w punktach:

\(\displaystyle{ A\left( x _{a}, y _{a} \right)}\)
\(\displaystyle{ B\left( x _{b}, y _{b} \right)}\)
\(\displaystyle{ C\left( x _{c}, y _{c} \right)}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \left| \left( x _{b}-x _{a} \right)\left( y_{c} - y_{a} \right)-\left( y_{b} - y_{a} \right) \left( x_{c} - x_{a} \right) \right|}\)

Nie wiem skąd wynika ten wzór, czy macie jakieś wskazówki jak go udowodnić?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

wzór na pole trójkąta - dowód

Post autor: janusz47 » 29 sty 2019, o 19:31

Sposób geometryczny (bez użycia iloczynu wektorowego w postaci wyznacznikowej)

W układzie prostokątnym zaznaczamy punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) na przykład w I ćwiartce układu dla przejrzystości rysunku.

Oznaczamy \(\displaystyle{ AB = c, \ \ AC =b}\) - wyznaczamy rzuty boków \(\displaystyle{ c, b}\) na osie układu współrzędnych \(\displaystyle{ c_{x},\ \ c_{y},\ \ b_{x},\ \ b_{y}.}\)

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta

\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2}bc\sin(\phi) = \frac{1}{2}bc \sin(\beta - \alpha) = \frac{1}{2}bc (\sin(\beta)\cos(\alpha) -\cos(\beta)\sin(\alpha)) =\\ = \frac{1}{2}(b_{y}c_{x} - b_{x}c_{y}) =\frac{1}{2}[(y_{c}- y_{a})(x_{b}-x_{a}) - ( x_{c}- x_{a})(y_{b}- y_{a})].}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2855
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 934 razy

Re: wzór na pole trójkąta - dowód

Post autor: Janusz Tracz » 29 sty 2019, o 20:08

Albo zamiast patrzeć na to jak na pole trójkąta można powiedzieć, że to objętość graniastosłupa o podstawie "tego" trójkąta i wysokości \(\displaystyle{ 1}\). Objętość takiego graniastosłupa (co do wartości taka sama jak pole) wyraża się poprzez wartość iloczynu wektorowego. Tu można zrobić to na dwa sposoby dające znane wzory na pole trójkąta. Zatem ustalmy trzy punkty \(\displaystyle{ \left( x_a,y_a,1\right)}\), \(\displaystyle{ \left( x_b,y_b,1\right)}\), \(\displaystyle{ \left( x_c,y_c,1\right)}\) i wektory

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=\left[x_b-x_a,y_b-y_a,0 \right]}\)

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}=\left[x_c-x_a,y_c-y_a,0 \right]}\)

wtedy pole równe objętości będzie równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}\right|}\). Pierwszy ze znanych wzorów mówi o tym iż pole jest równe
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2} \cdot \text{iloczyn \ boków } \cdot \sin\left( \text{kąt \ pomiędzy bokami}\right)}\)
A szukany przez Ciebie wzór można otrzymać stosując wyznacznikową metodę liczenia iloczyny wektorowego.
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{ccc}\imath&\jmath&k\\x_b-x_a&y_b-y_a&0\\x_c-x_a&y_c-y_a&0\end{array}\right|\right|=\frac{1}{2} \left| \left( x _{b}-x _{a} \right)\left( y_{c} - y_{a} \right)-\left( y_{b} - y_{a} \right) \left( x_{c} - x_{a} \right) \right|}\)
Istnieje też daleko idące uogólnienia tego rozumowania co opisuje teoria sznurówek pozwalająca w prosty sposób liczyć pola figur leżących na płaszczyźnie zadanych (definiowanych) przez zbiór punktów \(\displaystyle{ \left( x_i,y_i\right)\in\RR^2}\). A nawet rozważa się przejście graniczne gdy punków jest nieskończenie wiele i przybliżają jakąś krzywą zamkniętą \(\displaystyle{ \Gamma}\) wtedy pole otoczone przez tą krzywą wyraża się poprzez \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}\oint_{\Gamma} -y\text{d}x+x\text{d}y}\), ten wzór ukazuje niewątpliwe podobieństwo pomiędzy polem trójkąta a wersją znacznie ogólniejszą.

ODPOWIEDZ