Oszacować dokładność z szeregu Taylora

[Big_Boss1997]

Witam! Mam zadanie: w przybliżeniu czemu jest równa funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \sin(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}}\) z dokładnością \(\displaystyle{ d = \frac{1}{10^{5}}}\).

Problem jest w tym, że nie mogę dokładnie opisać resztę.
Jeżeli wezmę za wartość początkową \(\displaystyle{ x_{0} = 0}\), to wychodzi u mnie reszta \(\displaystyle{ R _{5}(c) =\frac{\cos(c)( \frac{5}{10} - 0)^5}{5!}}\). I jest ona większa od mojej dokładności.

[janusz47]

Jeśli uwzględnimy we wzorze Taylora resztę w postaci Lagrange'a dla funkcji sinus, to otrzymamy:

\(\displaystyle{ R_{n} = \frac {(x - a)^{n}}{(n+1)!}\sin \left[ a+\theta(x - a)+(n+1)\frac{\pi}{2}\right], \ \ 0 <\theta < 1 .}\)

\(\displaystyle{ R_{n} \leq \frac{|x - a|^{n+1}}{(n+1)!},}\) bo \(\displaystyle{ |\sin(\alpha)|\leq 1 \ \ (1)}\)

Ze wzoru tego można obliczać wartość \(\displaystyle{ \sin(x)}\) dla dowolnych wartości \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ a}\)

Z \(\displaystyle{ (1)}\) dla \(\displaystyle{ x = 0,5, \ \ a=0}\) możemy zapisać nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{(\frac{1}{2})^{n+1}}{(n+1)!} \leq 10^{-5},}\)

z której wynika, że dla co najmiej \(\displaystyle{ n= 6}\) składników szeregu Taylora, otrzymamy żądaną, a nawet większą dokładność \(\displaystyle{ d = 10^{-5}}\) wartości funkcji sinus w punkcie \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}.}\)

[Big_Boss1997]

janusz47, w takim przypadku tylko dla co najmniej \(\displaystyle{ n = 7}\) otrzymamy potrzebną dokładność.

[janusz47]

\(\displaystyle{ R_{6} = \frac{1}{2^{7}\cdot 7!} \approx 1.55\cdot 10^{-6}.}\)


OCTAVE 4.2.1.

Kod: Zaznacz cały

>> 1/(2^7*7*6*5*4*3*2*1)
ans =   1.5501e-006