Matematyka.pl

Proszę o znalezienie błędu oraz pokazanie poprawnego schematu postępowania. Zamiast fi używam alfa.

\(\displaystyle{ \left( 4+4i \right) \left( -3+3i \right)}\)

\(\displaystyle{ |z _{1} |= 4 \sqrt{2}\\
|z _{2} |= 3 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{1} = \frac{ \pi }{4}\\
\alpha _{2} = \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ z =24 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{ 2} + i \sin \frac{\pi}{ 2} \right)}\)

Poprawnym rozwiązaniem jest
\(\displaystyle{ 24 \left( \cos \pi + i\sin \pi \right)}\)

Bardzo proszę o jasne wytłumaczenie, najprostsze możliwe. Nie chcę odsyłania do działów w książce, internet przeszukany, ja dalej nie rozumiem.

d4xet pisze: \(\displaystyle{ \alpha _{1} = \frac{ \pi }{4} \\
\alpha _{2} = \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{1} = \frac{ \pi }{4} \\
\alpha _{2} = \frac{ 3\pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ z = z_{1}\cdot z_2}=(4+4i)(-3 +3i)= -12(1 +i)(1 -i) = -12( 1- i^2) =-24.}\)

\(\displaystyle{ r = 24, \phi = \pi.}\)

\(\displaystyle{ z= 24( \cos(\pi) + i\sin(\pi)).}\)

kerajs pisze:

d4xet pisze: \(\displaystyle{ \alpha _{1} = \frac{ \pi }{4} \\
\alpha _{2} = \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ \alpha _{1} = \frac{ \pi }{4} \\
\alpha _{2} = \frac{ 3\pi }{4}}\)

Rozumiem, że wynika to z tego że jesteśmy w II ćwiartce, ale no nadal nie wiem co dalej.

\(\displaystyle{ z_1= 4 \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \\
z_2= 3 \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \\
z_1z_2=4 \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) 3 \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) =\\=24 \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} +\frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{4} +\frac{3\pi}{4} \right) \right)}\)
co daje poprawny wynik.