Matematyka.pl

Wykaż, że kongruencja kwadratowa z modułem \(\displaystyle{ p>2}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\) reszt kwadratowych i tylko samo niereszt kwadratowych.

Jak to zrobić?

Zauważ, że jeżeli kongurencja:

\(\displaystyle{ x^2=a}\) oczywiście modulo \(\displaystyle{ p}\)

ma albo ze rozwiązań, albo ma dwa rozwiązania:

\(\displaystyle{ x,y}\)

\(\displaystyle{ x^2=y^2}\)

z tego:

\(\displaystyle{ p|x^2-y^2=(x-y)(x+y) \Rightarrow p|x+y \vee p|x-y}\)

a stąd:

\(\displaystyle{ x= \pm y}\)

Czyli wynika stąd,że jeżeli kongurencja ma dwa rozwiązania są to rozwiązania różniące się znakiem...

a to, że ma : \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\) - reszt i tyle samo niereszt kwadratowych wynika z faktu:

\(\displaystyle{ x^2=1, x^2=2, x^2=3,...,x^2=p-1}\)

Każda z tych kongurencji albo ma dwa rozwiązania albo nie ma wcale...

Są to liczby:

\(\displaystyle{ 1^2, 2^2, 3^2,..., \left( \frac{p-1}{2}\right)^2}\)

cnd...