Matematyka.pl

Witam
Mam problem oto z tym zadaniem i jeśli ktoś by dał jakąś wskazówkę byłbym bardzo wdzięczny.

W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ D}\) jest spodkiem wysokości \(\displaystyle{ AD}\), a \(\displaystyle{ H}\) jest dowolnym punktem odcinka \(\displaystyle{ AD}\). Proste \(\displaystyle{ BH}\) i \(\displaystyle{ CH}\) przecinają boki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ AB}\) w punktach \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\). Udowodnij że kąty \(\displaystyle{ EFH}\) i \(\displaystyle{ HFD}\) są sobie równe

Początkowo myślałem żeby z tw. Cevy dla tych prostych przecinających się w punkcie \(\displaystyle{ H}\) i dalej szukać trójkątów podobnych jednak to na nic, również zastanawiałem sie nad tym żeby dążyć do uzykania tw. o dwusiecznej dla kąta \(\displaystyle{ EFD}\).

Treść zadania jest poprawna? Nie wydaje mi się, żeby to była prawda...-- 28 sty 2019, o 22:49 --Na przykład

Zapewne chodzi o kąty \(\displaystyle{ EDH}\) i \(\displaystyle{ DFE}\), inaczej możnaby udowodnić (opierając się o dowód poprawnego twierdzenia), że \(\displaystyle{ H}\) jest ortocentrum \(\displaystyle{ ABC}\). Po pierwsze można skorzystać z dwustosunków, a po drugie przedłużyć \(\displaystyle{ DE}\) i \(\displaystyle{ DF}\) do przecięcia z równoległą do \(\displaystyle{ BC}\) przez \(\displaystyle{ A}\) w punktach \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ R}\) po czym wykazać, że \(\displaystyle{ AQ=AR}\). Ta równość zachodzi niezależnie od tego, czy \(\displaystyle{ AD}\) jest prostopadłe do \(\displaystyle{ BC}\) czy nie i można ją wykazać korzystając z Cevy. Alternatywnie z tw. Brianchona dla zdegenerowanego sześciokąta \(\displaystyle{ AFBDCE}\) dostajemy, że istnieje stożkowa wpisana w \(\displaystyle{ ABC}\) styczna do boków w trójkąta w punktach \(\displaystyle{ D}\), \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\). Możemy ją afinicznie przekształcić na okrąg, a stąd teza wynika z elementarnych przerzuceń kątów, gdyż w tym przypadku zachodzi \(\displaystyle{ AE=AF=AQ=AR}\).

Hydra147, jak chcesz udowodnić, że \(\displaystyle{ H}\) jest ortocentrum tego trójkąta skoro z definicji to jest dowolny punkt na \(\displaystyle{ AD}\)?

-- 28 sty 2019, o 22:58 --

Aaa, w sensie, że \(\displaystyle{ \angle EFH = \angle HFD \Rightarrow H}\) ortocentrum danego trójkąta...