Matematyka.pl

Mam pytanie jak się zabrać za całkę podwójna po prostokącie dla \(\displaystyle{ R=[0,2]\times[0,1]}\).
\(\displaystyle{ \int \frac{dxdy}{(x+y+1)^{3} }}\)

Stosując twierdzenie Gwido Fubiniego zapisujemy całkę w postaci dwóch całek iterowanych

\(\displaystyle{ \iint_{[0,2]\times[0, 1]} \frac{dx dy}{(x+y+ 1)^3} = \int_{0}^{2}\int_{0}^{1} \frac{dx dy}{x+y+ 1)^3} =...}\)

Rozdzielilam je w ten sposób. Nie wiem jak je dalej obliczyć -- 28 sty 2019, o 19:16 --Dokładnie rozdzielilam je w ten sposób: \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{1} \left( (x+y+1)^{-3}\right)dy \right) dx}\)

Zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ t=x+y+1}\).

A jeszcze jak mam taką całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left( -\cos 2\pi + \cos \pi\right)dx= 0 \int_{0}^{1}dx= 0 \left( 1-0)=0\right}\) . To tak jak ja ją trzeba by było obliczyć?

Guzzi to nie jest całka pojedyńcza, dla której takie podstawienie byłoby bezsensowne.

Całka wewnętrzna:

\(\displaystyle{ I_{1} =\int_{0}^{1}(x+y+1)^{-3}dy = \left[ \frac{(x+y +1)^{-3 +1}}{-3+1} \right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}\left[\frac{1}{(x+y +1)^{2}}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+2)^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}}\)

Całka zewnętrzna równa wartości całki podwójnej

\(\displaystyle{ I_{2} = \int_{0}^{2} \left(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+2)^2} +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}\right) dx = -\frac{1}{2}\left[\frac{(x+2)^{-2+1}}{-2+1} \right]_{0}^{2} + \frac{1}{2}\left[\frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1}\right]_{0}^{2}=\frac{1}{2}\left [\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+1}\right]_{0}^{2}}\)

\(\displaystyle{ \iint_{(R)}\frac{dydx}{(x+y + 1)^3}=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2+2}-\frac{1}{2+1}- \frac{1}{0+2}+ \frac{1}{0+1}\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+ 1\right] = \\ = \frac{5}{24}.}\)

Karolinaa0 pisze:A jeszcze jak mam taką całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left( -\cos 2\pi + \cos \pi\right)dx= 0 \int_{0}^{1}dx= 0 \left( 1-0)=0\right}\) . To tak jak ja ją trzeba by było obliczyć?

\(\displaystyle{ -\cos 2\pi+\cos\pi=-2}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left[-\cos u\right] _{\pi}^{2\pi}dx}\)-- 28 sty 2019, o 20:57 --Chodziło mi o taką całkę

Wyżej dodałam jej dokończenie. Czy jest poprawne?

-- 28 sty 2019, o 21:00 --

Jak to przecież \(\displaystyle{ \cos 2\pi=1 ; \cos \pi=-1}\)

-- 28 sty 2019, o 21:05 --

Dobrze to ja już chyba mam wszystko źle. Chodziło mi o obliczenie tej calki podwójnej \(\displaystyle{ \iint x \sin xydxdy}\) po prostokącie\(\displaystyle{ R=[0,1]\times [\pi,2\pi]}\) Te całki wyżej to kontynuacja moich obliczeń tej całki. Zapewne wszystko źle

-- 28 sty 2019, o 21:16 --

Chwila jeszcze może uda mi się rozwiązać

-- 28 sty 2019, o 21:20 --

Jednak już chyba nie rozwiąże, zabrałam się metodą podstawiania i za \(\displaystyle{ u=xy}\) ale to chyba był zły pomysl

-- 28 sty 2019, o 21:29 --

Mogę prosić o wskazówkę która metodą powinnam rozwiązać ta całkę?

Proszę dokładnie zapisać postać tej całki podwójnej. Czy argumentem sinusa jest iloczyn
\(\displaystyle{ \sin(x\cdot y)?}\) i zbioru \(\displaystyle{ R,}\) po którym całkujemy.

Nie wiem janusz47 co Twój komentarz miał mi przekazać ale spoko