Matematyka.pl

Cząstka (rodzic) może się podzielić na \(\displaystyle{ 0,1}\) lub dwie cząstki (dzieci) z prawdopodobieństwami równymi \(\displaystyle{ \frac14,\frac12,\frac14,}\) odpowiednio. Po podziale, cząstka rodzic znika. Niech \(\displaystyle{ X_i, i = 0,1,2,}\)... oznacza liczbę cząstek \(\displaystyle{ i}\)-tej generacji, \(\displaystyle{ X_0 = 1}\). Oblicz
(a) \(\displaystyle{ P(X_2 > 0)}\)
(b) prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ X_1 = 2}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ X_2 = 1}\).

(a)
\(\displaystyle{ P \left( X_2 > 0 \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( 1-\frac14\right)+\frac14 \cdot \left( 1- \left( \frac14 \right) ^2 \right)}\)
(b)
\(\displaystyle{ P\left( X_1 = 2 \bigg| _{X_2 = 1}\right) = \frac{P \left( X_1 = 2 \cap X_2 = 1 \right) }{P \left( X_2 = 1 \right) } = \frac{\frac14 \left( \frac14\frac12+\frac12 \frac14 \right) }{\frac12\frac12+\frac14 \left( \frac14\frac12+\frac12 \frac14 \right) }}\)

a skąd się bierze to z a)?

a)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left( 1-\frac14\right)}\)
cząstka trwa podczas pierwszej generacji (razy) i nie zanika podczas drugiej (ten czynnik liczony z zdarzenia przeciwnego)

lub (+)

\(\displaystyle{ \frac14 \cdot \left( 1- \left( \frac14 \right) ^2 \right)}\)
cząstka dokonała podziału dając dwie cząstki pierwszej generacji (razy) i co najmniej jedna cząstka jest w drugiej (ten czynnik liczony z zdarzenia przeciwnego)