Udowodnić istnienie rozwiązania zadania Cauchyego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Wojtus2131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 3 gru 2018, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Udowodnić istnienie rozwiązania zadania Cauchyego

Post autor: Wojtus2131 » 27 sty 2019, o 18:36

\(y'=(y+x)^{100},\\y(0)=1.\)
Zadanie sprowadza się do udowodnienia
\(|(x+y_1)^{100}-(x+y_2)^{100}| \le N|y_2-y_1|\) dla dowolnych \(x,y_1,y_2\)

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1745
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec

Re: Udowodnić istnienie rozwiązania zadania Cauchyego

Post autor: matmatmm » 27 sty 2019, o 19:55

Czy aby na pewno dla dowolnych?

Wojtus2131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 3 gru 2018, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Udowodnić istnienie rozwiązania zadania Cauchyego

Post autor: Wojtus2131 » 27 sty 2019, o 20:54

matmatmm pisze:Czy aby na pewno dla dowolnych?
dla każdego \(x\) i dla dowolnych \(y_1, y_2\)

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1745
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec

Re: Udowodnić istnienie rozwiązania zadania Cauchyego

Post autor: matmatmm » 27 sty 2019, o 21:56

Jeśli masz na myśli "dla dowolnych \(x,y_1,y_2\in\RR\)", to tej stałej nie da się tak dobrać. Z drugiej strony jak popatrzysz na założenia twierdzenia Picarda, to...

Wojtus2131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 3 gru 2018, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Udowodnić istnienie rozwiązania zadania Cauchyego

Post autor: Wojtus2131 » 27 sty 2019, o 22:15

nie wiem

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1745
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec

Re: Udowodnić istnienie rozwiązania zadania Cauchyego

Post autor: matmatmm » 28 sty 2019, o 12:27

Masz gdzieś przed oczami to twierdzenie? Musisz sprawdzić jego założenia, między innymi warunek Lipschitza, o którym mowa.

P.S. Masz udowodnić tylko istnienie, czy też jednoznaczność?

ODPOWIEDZ