Matematyka.pl

Rozważmy podprzestrzeń liniową:
\(\displaystyle{ V=\{ (x,y,z)\in \RR^{3} : 2x+y-z=0 , x-2y+z=0 \}}\).
przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) . Wyznacz rzut ortogonalny wektora \(\displaystyle{ u = (1, -1, 1)}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) .
W przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) przyjmij naturalny iloczyn skalarny.

Czy mój tok myślenia się zgadza?

1. Rozwiązuję układ \(\displaystyle{ 2x+y-z=0,x-2y+z=0}\), aby wyznaczyć bazę podprzestrzeni liniowej.
Wychodzi \(\displaystyle{ (1,3,5) \cdot t, t\in\RR}\), więc przyjmuję bazę \(\displaystyle{ (1,3,5)}\).
2. Normalizuję bazę - wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{35} (1,3,5)}\).
3. Ze wzoru wyliczam rzut ortogonalny - wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3}{35} (1,3,5)}\).

Punkt pierwszy jest w porządku. Natomiast później należy wyznaczyć bazę ortonormalną ze wzoru: \(\displaystyle{ \widetilde{a}= \frac{a}{||a||}}\), czyli otrzymujesz: \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{35} }{35}(1,3,5)}\). Ostatecznie: \(\displaystyle{ u ^{*}= \frac{-1}{35}(1,3,5)}\)