prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
NexaT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 11 lut 2017, o 18:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 11 razy

prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej

Post autor: NexaT » 26 sty 2019, o 19:34

Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P(2;1;-1)}\) i prostopadłej do prostych:

\(\displaystyle{ l_{1}: \frac{x-3}{2}= \frac{y+1}{3}= \frac{z-1}{1}}\)

\(\displaystyle{ l _{2}: \frac{x-3}{1}= \frac{y-2}{2}= \frac{z+1}{-2}}\)

nie wiem jak się do tego zabrać. proszę jakoś krok po kroku o wyjaśnienie, albo rozwiązanie, żebym mógł to przeanalizować. geometrii analitycznej nie przerabiałem, ale tego typu zadania po prostu muszę umieć robić, więc serio moja wiedza jest w tym zakresie minimalna.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18718
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3714 razy

Re: prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej

Post autor: szw1710 » 26 sty 2019, o 21:00

Masz wektory równoległe do obu prostych. Szukasz wektora prostopadłego do danej płaszczyzny, a więc i do obu prostych. Jak on się ma do tych wektorów równoległych?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej

Post autor: janusz47 » 26 sty 2019, o 21:29

Równanie kierunkowe prostej \(\displaystyle{ l}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\)

\(\displaystyle{ l: \frac{x-2}{a} = \frac{y -1}{b} = \frac{z+1}{c} \ \ (1)}\)

Wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\) musi być prostopadły do płaszczyzny rozpiętej przez wektory kierunkowe prostych \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}.}\)

Stąd wynika, że prosta \(\displaystyle{ l}\) będzie prostopadła do prostych \(\displaystyle{ l_{1},\ \ l_{2},}\) gdy wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{v}(a,b, c)}\) prostej \(\displaystyle{ l}\) będzie iloczynem wektorowym wektora kierunkowego \(\displaystyle{ \vec{v}_{1}(2, 3, 1)}\) prostej \(\displaystyle{ l_{1},}\) przez wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{v}_{2}(1, 2, -2)}\) prostej \(\displaystyle{ l_{2}.}\)

\(\displaystyle{ \vec{v}(a,b,c) = \vec{v}_{1}(2, 3, 1) \times \vec{v}_{2}(1, 2, -2)}\)

\(\displaystyle{ [a \ \ b \ \ c] = \left[ \left| \begin{matrix}3&1\\2&-2\end{matrix}\right| - \left| \begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right| \left| \begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right| \right]= [ -8, 5, 1] \ \ (2)}\)

Podstawiając współrzędne wektora kierunkowego \(\displaystyle{ (2)}\) do równania prostej \(\displaystyle{ (1),}\) otrzymujemy równanie kierunkowe szukanej prostej - prostopadłej do danych prostych i przechodzącej przez dany punkt \(\displaystyle{ P}\)

\(\displaystyle{ l: \frac{x-2}{-8} = \frac{y-1}{5} = \frac{z+1}{1}.}\)

NexaT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 11 lut 2017, o 18:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 11 razy

Re: prosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej

Post autor: NexaT » 27 sty 2019, o 13:04

dzięki. jesteś wielki

ODPOWIEDZ