Matematyka.pl

Witam. Jako że temat jest podobny to nie będę zaczynał nowego tematu.
Chciałem wyprowadzić wzór na dylatacje czasu z twierdzenia Pitagorasa. Oczywiście przyjmijmy "tradycyjną" sytuacje gdzie mamy 2 bliźniaków - jeden w pociągu a drugi na peronie. Oboje mają zegary świetlne gdzie pomiędzy zwierciadłami odbija się foton. Oczywiście trajektoria fotonu w obu układach będzie inna a rozrysowując to tworzy się trójkąt prostokątny. Wygląda to mniej więcej tak:
Wyprowadzając twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy takie coś :

\(\displaystyle{ c^{2} \cdot T^{2} = c^{2} \cdot t^{2} + v^{2} \cdot T^{2}}\)

Jeśli tak to wyprowadźmy \(\displaystyle{ T^{2}}\)

\(\displaystyle{ c^{2} \cdot T^{2} - v^{2} \cdot T^{2} = c^{2} \cdot t^{2} / c^{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{c^{2} \cdot T^{2}}{c^{2}} - \frac{ v^{2} \cdot T^{2} }{ c^{2} } = \frac{ c^{2} \cdot t^{2} }{ c^{2} }}\)

\(\displaystyle{ T^{2} - \frac{ v^{2} \cdot T^{2} }{ c^{2} } = t^{2}}\)

\(\displaystyle{ t^{2} = T^{2} \cdot \left( 1 - \frac{ v^{2} }{ c^{2} } \right) / \sqrt}\)

\(\displaystyle{ t = \sqrt{ T^{2} \cdot \left( 1 - \frac{ v^{2} }{ c^{2} } \right) }}\)

\(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{ T^{2} }{1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{ v^{2} }{ c^{2} } } }}\)

\(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{ T^{2} }{1 - \frac{ v^{2} }{ c^{2} } } }}\)

\(\displaystyle{ t = \frac{T}{ \sqrt{1 - \frac{ v2^{} }{ c^{2} } } }}\)

czy jest to poprawne wyprowadzenie wzoru dylatacji czasu? niestety kuleje z matmy...

Jeśli jest to poprawne wyprowadzenie to chciałbym jeszcze coś zapytać ale po kolei

Tak, poprawne. I wydzieliłem jednak temat, lepiej nie mieszać

Dziękuję. Miałem wątpliwości czy w trzeciej linijce od dołu mogę dać "1" w liczniku.

To co napisałem jest dla mnie zrozumiałe i oczywiste. Ale Pan Krzysztof Meissner tłumaczy to jakoś inaczej...

może nie będe cytował tego wybitnego fizyka ale podam filmik, proszę obejrzeć od 12:20


Z tego co on mówi, wynika że aby opisać dylatacje czasu w przypadku paradoksu bliźniąt to powinniśmy przyjąć że:

\(\displaystyle{ a^{2} - b^{2} = c^{2}}\)

Dlaczego 'minus' skoro przed chwilą wyprowadziliśmy z plusa? Jak to rozpisać? Skoro \(\displaystyle{ a}\) jest czasem a \(\displaystyle{ b}\) to odległość to czym jest tutaj \(\displaystyle{ c}\)? nie umiem jakoś tego odnieść do powyższego przykładu. \(\displaystyle{ c}\) to jest czas obserwatora na peronie, natomiast \(\displaystyle{ a}\) to czas obserwatora w pociągu? dobrze myślę? próbowałem coś wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa z minusem ale nic mi nie wychodzi. Czy mogłbyś to skomentować?

Cóż, bez zaglądania do filmiku wiem, że on mówi o czymś zupełnie innym - o geometrii czasoprzestrzeni. W zwykłej trójwymiarowej geometrii przestrzennej, bez uwzględniania czasu, tradycyjne twierdzenie Pitagorasa pozostaje jak najbardziej w mocy. Ty swoje wyprowadzenie prowadziłeś właśnie w takiej trójwymiarowej geometrii. Zajmowałeś się trzema odcinkami leżącymi w przestrzeni, tworzącymi trójkąt prostokątny. Pojawiał się co prawda czas, ale nie jako osobny "wymiar", tylko jako czynnik składający się na długość przestrzennego odcinka.
Natomiast jak chcemy zajmować się krzywymi i figurami w czasoprzestrzeni, to sprawa wygląda już zupełnie inaczej. W czasoprzestrzeni jeden z kierunków jest wyróżniony. Dla prostoty rozważań pomińmy dwa przestrzenne wymiary i rozpatrzmy dwuwymiarową czasoprzestrzeń:
Każdy obiekt zakreśla w czasoprzestrzeni krzywą zwaną linią świata. Weźmy inercjalny układ odniesienia związany z peronem. Obserwator stojący na peronie zakreśli w czasoprzestrzeni linię narysowaną na czerwono, mającą długość \(\displaystyle{ ct}\), gdzie \(\displaystyle{ t}\) to czas jaki zmierzy on na swoim zegarku. Osoba podróżująca pociągiem zakreśli w czasoprzestrzeni linię narysowaną kolorem zielonym. Jej długość będzie równa \(\displaystyle{ cT}\), gdzie \(\displaystyle{ T}\) to czas jaki wg obserwatora na peronie zmierzy podróżnik. Widzisz zapewne tutaj trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ ct}\), \(\displaystyle{ x=vt}\) i \(\displaystyle{ cT}\). Otóż takie czasoprzestrzenne "twierdzenie Pitagorasa" mówi, że:
\(\displaystyle{ (ct)^2-x^2=(cT)^2}\).
Podstawiając \(\displaystyle{ x=vt}\) i ciągnąc temat dalej:
\(\displaystyle{ (ct)^2-(vt)^2=(cT)^2,\\
t^2(c^2-v^2)=c^2T^2,\\
t^2=\frac{c^2T^2}{c^2-v^2},\\
t^2=\frac{T^2}{1-\frac{v^2}{c^2}},\\
t=\frac{T}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\)

Dlaczego minus, a nie plus? Nie wiadomo. Taki już jest nasz Wszechświat. Można dla zabawy porozmyślać nad konsekwencjami plusa, ale wiele to nie wniesie

Czy ja mogę w bezwymiarowy sposób z powyższego schematu stożka świetlnego wyliczyć dylatację? Nie chodzi mi o ostateczny wzór na \(\displaystyle{ t}\) - bo to jest oczywiste

Ale czy jako \(\displaystyle{ ct}\) postawić np \(\displaystyle{ 4}\) centymetrową czerwoną linię - co będzie oznaczało upływ czasu dla obserwatora spoczywającego...a potem odchylić tą linie w prawo (zmienić w zieloną linie) symulując przyśpieszenie. Wtedy wiadomo że zielona odchylona linia \(\displaystyle{ ct}\) zrzutowana na oś czasu nie będzie już sięgała do \(\displaystyle{ 4cm}\) tylko niżej (np \(\displaystyle{ 3,5 cm}\)) - mimo że jest tak samo długa. To Fajnie obrazowo pokazuje dylatację czasu gdy przyspieszamy.

czy jeśli w ten sposób zadam tym liniom jakieś długości i określe je np. w centymetrach to czy mogę podstawić do wzoru \(\displaystyle{ (ct)^2-x^2=(cT)^2}\) i w jakiś bezwymiarowy sposób określić stopień dylatacji?

Być może to co napisałem nie ma sensu, i jeśli trudno Ci odkryć o co mi chodzi to rozpisze to na kartce i wrzucę. Interesuje mnie czy ma to jakiś sens.

Fermion pisze:a potem odchylić tą linie w prawo (zmienić w zieloną linie) symulując przyśpieszenie.

Niestety, ale w ruchu przyspieszonym linie świata nie są już odcinkami, przez co musimy używać całek