Dowód implikacji nierówności dla dwóch liczb rzeczywi

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
piwne_oko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 15 wrz 2007, o 11:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pułtusk
Podziękował: 26 razy

Dowód implikacji nierówności dla dwóch liczb rzeczywi

Post autor: piwne_oko » 7 paź 2007, o 19:40

uzasadnij że dla każdego \(\displaystyle{ a R \ i \ b R}\) z nierówności \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} qslant 2}\) wynika nierówność \(\displaystyle{ |a+b|\leqslant 2}\)
Ostatnio zmieniony 9 paź 2007, o 10:18 przez piwne_oko, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

Dowód implikacji nierówności dla dwóch liczb rzeczywi

Post autor: jarekp » 8 paź 2007, o 18:40

Mamy więc
\(\displaystyle{ 1=\sqrt{\frac{{2}}{2}}\geqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=\sqrt{\frac{|a|^2+|b|^2}{2}}\geqslant \frac{|a|+|b|}{2}}\geqslant \frac{|a+b|}{2}}}\)

czyli \(\displaystyle{ 1\geqslant \frac{|a+b|}{2}}}\) czyli \(\displaystyle{ |a+b|\leqslant 2}\) c.n.u.

I teraz tak: w pierwszym przejściu od lewej korzystam z założenia czyli że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} qslant 2}\)
kolejna równość jest oczywista. W następnym przejściu wykorzystuję nierówność między średnią
kwadratową a średnią arytmetyczną. W ostatnim przejściu korzystam z faktu, że moduł sumy jest mniejszy lub równy sumie modułów



ODPOWIEDZ