Dowód faktoryzacji
: 22 sty 2019, o 19:44
Czy mógłby ktoś sprawdzić czy ten dowód jest poprawny? (i czy w ogóle jest dowodem)
Potrzebuję trzech faktów:
1. Jest nieskończenie wiele liczb pierwszych (ze względu na Wasz czas - pominę dowód).
2. Jest nieskończenie wiele liczb złożonych.
To jasno wynika z faktu nieskończoności liczb pierwszych.
3. Każdą liczbę naturalną większą od jeden można przedstawić za pomocą iloczynu liczb pierwszych.
Dowód:
Załóżmy nie wprost, że istnieją liczby naturalne, które nie są ani pierwsze, ani złożone, zatem takie, których nie da się przedstawić za pomocą iloczynu liczb pierwszych.
Stąd istnieje najmniejsza taka liczba naturalna (z ograniczenia dolnego liczb naturalnych).
Ma ona minimum dwa dzielniki (samą siebie i jeden, co wynika bezpośrednio z aksjomatu: \(\displaystyle{ 1 \cdot n = n}\)), ale nie może mieć dokładnie dwóch dzielników (bo wówczas jest pierwsza). Zatem ma minimum trzy dzielniki (\(\displaystyle{ 1}\), samą siebie, \(\displaystyle{ x}\)), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest naturalna, ale nie może być pierwsza, ani złożona (bo wówczas nasza liczba miała by rozkładzie czynniki pierwsze).
Zauważmy, ze \(\displaystyle{ x}\) jest mniejsze od naszej liczby, co jest sprzeczne z założeniem o jej minimalności. Co było do wykazania.
Dowód jednoznaczności:
Załóżmy nie wprost, że istnieje liczba naturalna, która ma dwa różne rozkłady na czynniki pierwsze.
Wówczas istnieje najmniejsza taka liczba (z ograniczenia zbioru liczb naturalnych). Oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ n = p_1 p_2 \cdot \dots \cdot p_k = q_1 q_2 \cdot \dots \cdot q_t}\) (gdzie \(\displaystyle{ k,t}\) naturalne)
Fakt 1: Z minimalności \(\displaystyle{ n}\) wiemy, że żadna liczba z \(\displaystyle{ p_1 p_2 \cdot \dots \cdot p_k}\) nie powtarza się w \(\displaystyle{ q_1 q_2 \cdot \dots \cdot q_t}\) (bo wówczas moglibyśmy jest skrócić).
Liczba \(\displaystyle{ p_1}\) oczywiście dzieli \(\displaystyle{ n}\). W takim razie \(\displaystyle{ p_1}\) dzieli również \(\displaystyle{ q_1 q_2 \cdot \dots \cdot q_t}\) co jest sprzeczne z Faktem 1.
Potrzebuję trzech faktów:
1. Jest nieskończenie wiele liczb pierwszych (ze względu na Wasz czas - pominę dowód).
2. Jest nieskończenie wiele liczb złożonych.
To jasno wynika z faktu nieskończoności liczb pierwszych.
3. Każdą liczbę naturalną większą od jeden można przedstawić za pomocą iloczynu liczb pierwszych.
Dowód:
Załóżmy nie wprost, że istnieją liczby naturalne, które nie są ani pierwsze, ani złożone, zatem takie, których nie da się przedstawić za pomocą iloczynu liczb pierwszych.
Stąd istnieje najmniejsza taka liczba naturalna (z ograniczenia dolnego liczb naturalnych).
Ma ona minimum dwa dzielniki (samą siebie i jeden, co wynika bezpośrednio z aksjomatu: \(\displaystyle{ 1 \cdot n = n}\)), ale nie może mieć dokładnie dwóch dzielników (bo wówczas jest pierwsza). Zatem ma minimum trzy dzielniki (\(\displaystyle{ 1}\), samą siebie, \(\displaystyle{ x}\)), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest naturalna, ale nie może być pierwsza, ani złożona (bo wówczas nasza liczba miała by rozkładzie czynniki pierwsze).
Zauważmy, ze \(\displaystyle{ x}\) jest mniejsze od naszej liczby, co jest sprzeczne z założeniem o jej minimalności. Co było do wykazania.
Dowód jednoznaczności:
Załóżmy nie wprost, że istnieje liczba naturalna, która ma dwa różne rozkłady na czynniki pierwsze.
Wówczas istnieje najmniejsza taka liczba (z ograniczenia zbioru liczb naturalnych). Oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ n = p_1 p_2 \cdot \dots \cdot p_k = q_1 q_2 \cdot \dots \cdot q_t}\) (gdzie \(\displaystyle{ k,t}\) naturalne)
Fakt 1: Z minimalności \(\displaystyle{ n}\) wiemy, że żadna liczba z \(\displaystyle{ p_1 p_2 \cdot \dots \cdot p_k}\) nie powtarza się w \(\displaystyle{ q_1 q_2 \cdot \dots \cdot q_t}\) (bo wówczas moglibyśmy jest skrócić).
Liczba \(\displaystyle{ p_1}\) oczywiście dzieli \(\displaystyle{ n}\). W takim razie \(\displaystyle{ p_1}\) dzieli również \(\displaystyle{ q_1 q_2 \cdot \dots \cdot q_t}\) co jest sprzeczne z Faktem 1.