Udowodnij, że

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Franio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 179
Rejestracja: 13 lis 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 53 razy
Pomógł: 11 razy

Udowodnij, że

Post autor: Franio » 7 paź 2007, o 19:14

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{{6}+\sqrt[3]{{6}+\sqrt[3]{{6}+...+\sqrt[3]{6}}}}+\sqrt{{6}+\sqrt{{6}+\sqrt{{6}+...+\sqrt{6}}}} }\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

Udowodnij, że

Post autor: wb » 7 paź 2007, o 19:19

Sprawdź, czy poprawnie przepisałęś treść zadania.

Franio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 179
Rejestracja: 13 lis 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 53 razy
Pomógł: 11 razy

Udowodnij, że

Post autor: Franio » 7 paź 2007, o 19:21

Tak!! A czemu pytasz??

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Udowodnij, że

Post autor: Lorek » 7 paź 2007, o 19:22

wb, tam nie ma 3 kropek na końcu, to się kiedyś kończy czyli znak dobry.

[ Dodano: 7 Października 2007, 19:26 ]
Franio, zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{6}}\)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Udowodnij, że

Post autor: Piotr Rutkowski » 7 paź 2007, o 19:32

Ja bym po prostu policzył do czego byłby zbieżny taki ciąg.
np.
\(\displaystyle{ \sqrt{6+\sqrt{6+...}}=x}\)
Skoro granicę liczymy to możemy sobie wstawić \(\displaystyle{ x=\sqrt{6+x}}\)
Licząc to równanie kwadratowe odrzucamy ujemny pierwiastek i ta część jest zbieżna do 3.
Drugie jest ciut bardziej skomplikowane
Robimy to samo co poprzednio \(\displaystyle{ y=\sqrt[3]{y+6}}\)
\(\displaystyle{ y^{3}-y-6=0}\)
\(\displaystyle{ (y-2)(y^{2}+2y+3)}\), a z tego zapisu łatwo już wywnioskować, że taki ciąg jest zbieżny do 2. A więc nasza suma jest w nieskończoności zbieżna do 5, czyli jest zawsze od niej mniejsza

EDIT: Hehehe, Lorek, Twój sposób jest dużo prostszy

Franio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 179
Rejestracja: 13 lis 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 53 razy
Pomógł: 11 razy

Udowodnij, że

Post autor: Franio » 7 paź 2007, o 19:35

Rozumiem dzięki Tylko, czy możecie zapisać tę nierówność w całości- podstawiając wszystko jak zrobił Lorek?

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Udowodnij, że

Post autor: Lorek » 7 paź 2007, o 19:39

polskimisiek pisze:a z tego zapisu łatwo już wywnioskować, że taki ciąg jest zbieżny do 2. A więc nasza suma jest w nieskończoności zbieżna do 5, czyli jest zawsze od niej mniejsza
Jakby postępować, tak jak piszesz, to ta suma jest równa 5, a nie mniejsza od niej Ważne właśnie jest to, że to pierwiastkowanie kiedyś się kończy.

[ Dodano: 7 Października 2007, 19:41 ]
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{{6}+\sqrt[3]{{6}+\sqrt[3]{{6}+...+\sqrt[3]{6}}}}+\sqrt{{6}+\sqrt{{6}+\sqrt{{6}+...+\sqrt{6}}}} }\)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Udowodnij, że

Post autor: Piotr Rutkowski » 7 paź 2007, o 19:51

No więc właśnie dlatego napisałem, że skoro są zbieżne w nieskończoności, to dlatego (tu chyba zabrakło po prost7u sformułowania "dla skończonej liczby wyrazów") suma jest zawsze mniejsza od 5

ODPOWIEDZ