Udowodnij, że

[Franio]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{{6}+\sqrt[3]{{6}+\sqrt[3]{{6}+...+\sqrt[3]{6}}}}+\sqrt{{6}+\sqrt{{6}+\sqrt{{6}+...+\sqrt{6}}}} }\)

[wb]

Sprawdź, czy poprawnie przepisałęś treść zadania.

[Franio]

Tak!! A czemu pytasz??

[Lorek]

wb, tam nie ma 3 kropek na końcu, to się kiedyś kończy czyli znak dobry.

[ Dodano: 7 Października 2007, 19:26 ]
Franio, zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{6}}\)

[Piotr Rutkowski]

Ja bym po prostu policzył do czego byłby zbieżny taki ciąg.
np.
\(\displaystyle{ \sqrt{6+\sqrt{6+...}}=x}\)
Skoro granicę liczymy to możemy sobie wstawić \(\displaystyle{ x=\sqrt{6+x}}\)
Licząc to równanie kwadratowe odrzucamy ujemny pierwiastek i ta część jest zbieżna do 3.
Drugie jest ciut bardziej skomplikowane
Robimy to samo co poprzednio \(\displaystyle{ y=\sqrt[3]{y+6}}\)
\(\displaystyle{ y^{3}-y-6=0}\)
\(\displaystyle{ (y-2)(y^{2}+2y+3)}\), a z tego zapisu łatwo już wywnioskować, że taki ciąg jest zbieżny do 2. A więc nasza suma jest w nieskończoności zbieżna do 5, czyli jest zawsze od niej mniejsza

EDIT: Hehehe, Lorek, Twój sposób jest dużo prostszy

[Franio]

Rozumiem dzięki Tylko, czy możecie zapisać tę nierówność w całości- podstawiając wszystko jak zrobił Lorek?

[Lorek]

a z tego zapisu łatwo już wywnioskować, że taki ciąg jest zbieżny do 2. A więc nasza suma jest w nieskończoności zbieżna do 5, czyli jest zawsze od niej mniejsza

Jakby postępować, tak jak piszesz, to ta suma jest równa 5, a nie mniejsza od niej Ważne właśnie jest to, że to pierwiastkowanie kiedyś się kończy.

[ Dodano: 7 Października 2007, 19:41 ]
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{{6}+\sqrt[3]{{6}+\sqrt[3]{{6}+...+\sqrt[3]{6}}}}+\sqrt{{6}+\sqrt{{6}+\sqrt{{6}+...+\sqrt{6}}}} }\)

[Piotr Rutkowski]

No więc właśnie dlatego napisałem, że skoro są zbieżne w nieskończoności, to dlatego (tu chyba zabrakło po prost7u sformułowania "dla skończonej liczby wyrazów") suma jest zawsze mniejsza od 5