Całka krzywoliniowa skierowana dodatnio

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
Wojtus2131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 3 gru 2018, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Całka krzywoliniowa skierowana dodatnio

Post autor: Wojtus2131 » 22 sty 2019, o 16:07

Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int_{K}^{} \frac{y}{x^2+y^2}dx-\frac{x}{x^2+y^2}dy}\),
gdzie K jest linią o równaniu \(\displaystyle{ x=-\sqrt{1-y^2}}\)
no dobra, \(\displaystyle{ K}\) to dolna część okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) więc parametryzuję:
\(\displaystyle{ x=\cos t, y=\sin t, t \in [-\pi,0]}\)
oraz wyznaczam różniczki \(\displaystyle{ dx=-\sin tdt, dy=\cos tdt}\)
po wstawieniu wszystkiego do wyjściowej całki mam
\(\displaystyle{ \int_{-\pi}^{0} \sin 2tdt=0}\)
wynik w odpowiedziach jest inny, co robię źle?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2865
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 939 razy

Re: Całka krzywoliniowa skierowana dodatnio

Post autor: Janusz Tracz » 22 sty 2019, o 16:58

Nie wiem co robisz źle bo nie pokazałeś obliczeń a gotową postać całki. Być może źle podstawiasz albo na końcu jest błąd bo parametryzacja wygląda ok choć jak dla mnie bardziej naturalnie było by ustawić \(\displaystyle{ t\in\left[ \pi ,2 \pi \right]}\)

\(\displaystyle{ \int_{\text{K}}^{} \frac{y \mbox{d}x}{x^2+y^2} -\frac{x\mbox{d}y}{x^2+y^2}= \int_{ \pi }^{2 \pi }\underbrace{\left(-\sin^2t-\cos^2t \right)}_{-1} \mbox{d}t=-\pi}\)

Wojtus2131
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 3 gru 2018, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Re: Całka krzywoliniowa skierowana dodatnio

Post autor: Wojtus2131 » 22 sty 2019, o 17:04

Po ponownym prześledzeniu rachunków, wyszedł mi taki sam wynik. Autor podaje, że wynik to \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\) zatem widocznie jest błąd w odpowiedziach. Dzięki za komentarz.

ODPOWIEDZ