Matematyka.pl

Tak jak w temacie, gdzie jest mój błąd myślowy?

Mam policzyć asymptotę ukośną w minus nieskończoność dla funkcji:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{x ^{3} }{x+3} }}\)

No i wyliczam:
\(\displaystyle{ a = \lim_{ x\to - \infty } \left( \frac{1}{x} \cdot \sqrt{ \frac{x ^{3} }{x+3} } \right) = \lim_{x \to - \infty } \sqrt{ \frac{x ^{3} }{x ^{2} \left( x+3\right) } } = \lim_{ x\to - \infty } \sqrt{ \frac{x ^{3} }{x ^{3} + 3 x^{2} }} = \lim_{x \to - \infty } \sqrt{ \frac{x ^{3} }{1 \cdot \left( 1 + \frac{3}{x } \right) }} = 1}\)

Tu:

Quba1999 pisze:\(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty } \left( \frac{1}{x} \cdot \sqrt{ \frac{x ^{3} }{x+3} } \right) = \lim_{x \to - \infty } \sqrt{ \frac{x ^{3} }{x ^{2} \left( x+3\right) } }}\)

skoro:
\(\displaystyle{ x=\begin{cases} \sqrt{x^2} &\text{dla } x \ge 0\\ - \sqrt{x^2} &\text{dla } x<0 \end{cases}}\)
to problematyczne przejście powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty } \left( \frac{1}{x} \cdot \sqrt{ \frac{x ^{3} }{x+3} } \right) =
\lim_{ x\to - \infty } \left( \frac{1}{- \sqrt{x^2} } \cdot \sqrt{ \frac{x ^{3} }{x+3} } \right) =
\lim_{x \to - \infty } -\sqrt{ \frac{x ^{3} }{x ^{2} \left( x+3\right) } }}\)


Inaczej:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty } \left( \frac{1}{x} \cdot \sqrt{ \frac{x ^{3} }{x+3} } \right) = \lim_{x \to - \infty } \frac{\left| x\right| }{x} \sqrt{ \frac{x } { x+3}}= \lim_{x \to - \infty } sgn(x) \sqrt{ \frac{1 } { 1+\frac3x}}=-1}\)



PS
Jest jeszcze przeoczenie, prawdopodobnie wynikające z kopiowania fragmentu wyrażenia.
Zamiast:

Quba1999 pisze: \(\displaystyle{ ...= \lim_{x \to - \infty } \sqrt{ \frac{x ^{3} }{1 \cdot \left( 1 + \frac{3}{x } \right) }} = 1}\)

powinno być:
\(\displaystyle{ ...= \lim_{x \to - \infty } \sqrt{ \frac{1 }{1 \cdot \left( 1 + \frac{3}{x } \right) }} = 1}\)