Oblicz granicę stosując całkę

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Klawy123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 27 lut 2018, o 00:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Oblicz granicę stosując całkę

Post autor: Klawy123 » 22 sty 2019, o 01:44

Oblicz granicę za pomocą całki oznaczonej w sensie Riemanna:
\(a_{n} = \frac{n}{\left( n + 1\right) ^{2} } + \frac{n}{\left( n + 2\right) ^{2} } + \frac{n}{\left( n + 3\right) ^{2} } + ... + \frac{n}{\left( n + n\right) ^{2} }\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Oblicz granicę stosując całkę

Post autor: Janusz Tracz » 22 sty 2019, o 09:34

Ostatnio sporo tego typu zadań się pojawiało, zobacz tu gdzie pisałem jak zauważyć co trzeba policzyć.

\(\frac{n}{\left( n + 1\right) ^{2} } + \frac{n}{\left( n + 2\right) ^{2} } + \frac{n}{\left( n + 3\right) ^{2} } + ... + \frac{n}{\left( n + n\right) ^{2} }= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left( 1+ \frac{k}{n} \right)^2 } \rightarrow \int_{0}^{1} \frac{ \mbox{d}x }{\left( 1+x\right)^2 }\)

I pozostaje tylko policzyć tą całkę co jest już zadaniem rutynowym zatem \(\int_{0}^{1} \frac{ \mbox{d}x }{\left( 1+x\right)^2 }= \frac{1}{2}\) więc \(a_n \rightarrow \frac{1}{2}\)

ODPOWIEDZ