korzystając z indukcji udowodnij

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
MariuszN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sulechów
Podziękował: 1 raz

korzystając z indukcji udowodnij

Post autor: MariuszN » 7 paź 2007, o 18:55

Korzystając z indukcji matematycznej, udowodnij prawdziwość wzorów:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\) nεN
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k*k!=(n+1)!-1}\) nεN

prosze o rozwiązanie.... mam jeszcze z tym problemy;/
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

korzystając z indukcji udowodnij

Post autor: Tristan » 7 paź 2007, o 18:58

Może napisz, w którym miejscu dowodu masz konkretnie problem?

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

korzystając z indukcji udowodnij

Post autor: Piotr Rutkowski » 7 paź 2007, o 18:59

2)
Sprawdzasz
Założenie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k*k!=(n+1)!-1}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ 1*1!+2*2!+...+n*n!+(n+1)(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!=(n+2)(n+1)!-1=(n+2)!-1}\)

1)
Sprawdzasz
Założenie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ 1+2^{2}+...+n^{2}+(n+1)^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}\)

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

korzystając z indukcji udowodnij

Post autor: wb » 7 paź 2007, o 19:09

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\) nεN

Dowód indukcyjny;

sprawdzenie dla n=1:
\(\displaystyle{ L=1^2=1}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{6}\cdot 1 (1+1)(2\cdot 1+1)=1}\)

L=P


Założenie indukcyjne:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\)

Teza indukcyjna:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}\)

Dowód tezy indukcyjnej:
\(\displaystyle{ L= \sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\sum_{k=1}^{n} k^{2}+(n+1)^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2= \\ =\frac{1}{6}(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))=\frac{1}{6}(n+1)(2n^2+7n+6)= \\ =\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)=P}\)

ODPOWIEDZ