Matematyka.pl

Wykaż że ciąg rekurencyjny jeszt zbieżny i oblicz jego granicę:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1,
a_{n+1} = \frac{a _{n} ^{2} + a _{n}+ 1 }{a _{n}+3 }}\)
Wyliczyłem możliwe granice i jeżeli ona istnieje to jest równa 0.5 . Teraz chce pokazać że ciąg jest ogranicozny z dołu przez tą właśnie wartość, tylko nie wiem za bardzo jak to zrobić. Próbuję z indukcji ale nie wiem oszacować

Twoim kandydatem na granicę jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i jest to jednocześnie kandydat na oszacowanie. Trzeba pokazać dwie rzeczy.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest malejący Ciąg malejący i ograniczony ma granicę. Oznaczając ją jako \(\displaystyle{ g}\) otrzymujesz że musi być to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)