Strona 1 z 1
Granica ciągu z parametrem
: 21 sty 2019, o 16:29
autor: Unforg1ven
Obliczyć granicę następującego ciągu liczbowego.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n\left( \frac{a_{n+1}} {a_n} -1 \right),\text{ gdzie }a_n=n^p \ln n}\), \(\displaystyle{ p\in \mathbb{R}}\)
Jakieś wskazówki?
Re: Granica ciągu z parametrem
: 21 sty 2019, o 17:32
autor: Janusz Tracz
Granica ciągu z parametrem
: 21 sty 2019, o 17:34
autor: janusz47
Podstawienie do wzoru ciągu \(\displaystyle{ a_{n}, a_{n+1}.}\)
Uproszczenie potęg z \(\displaystyle{ n.}\)
Przekształcenie wzoru ciągu, korzystając ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie.
Granica ciągu z parametrem
: 21 sty 2019, o 19:15
autor: Unforg1ven
janusz47 pisze:Podstawienie do wzoru ciągu \(\displaystyle{ a_{n}, a_{n+1}.}\)
Uproszczenie potęg z \(\displaystyle{ n.}\)
Przekształcenie wzoru ciągu, korzystając ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie.
No mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n\left( \frac{a_{n+1}} {a_n} -1 \right)= \lim_{n \to \infty} n \left( \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^p \log_n \left( n+1 \right) -1\right)}\)
i co dalej?
Re: Granica ciągu z parametrem
: 21 sty 2019, o 20:15
autor: janusz47
Nie potrzebna zamiana na podstawę logarytmu \(\displaystyle{ n.}\)
\(\displaystyle{ n\cdot \left[ \left (1 + \frac{1}{n}\right)^{p}\cdot \frac{\ln(n+1)- ln(n)}{\ln(n)} \right] = \left( 1 +\frac{1}{n}\right)^{p} \frac{\ln \left (1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{\ln(n)} ...}\)