Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{2n}{ 2n^{2} -1 } \cdot \cos \frac{n}{2n-1}}\)

Rozbiłem na dwie granice. Pierwsza granica to 0. Mam problem z granicą cosinusa. Wyczuwam tutaj twierdzenie o trzech ciągach, jednak nie wiem jakie ciągi dobrać.

Proszę o wskazówkę.

Wsk. wartości kosinusa sa ograniczone z góry i z dołu

Co to jest funkcja truy?

No to jest oczywiste

\(\displaystyle{ -1 \le \cos \frac{n}{2n-1} \le 1}\)

jednak nadal nie wiem jakie ciągi dobrać

Łatwo to policzyć korzystając z następującego twierdzenia:
Iloczyn ciągu ograniczonego przez ciąg zbieżny do 0, jest zbieżny do 0.
(Jeżeli ją nie znasz/nie miałeś na wykładzie możesz spróbować udowodnić -stosunkowo dowód jest prosty)
Edit: Dopiero po wysłaniu postu pojawił się u mnie, post a4karo.
Meritum sprowadza się do tego samego.

Czyżby chodziło o coś takiego:
\(\displaystyle{ -\frac{2n}{ 2n^{2} -1 } \leq \frac{2n}{ 2n^{2} -1 } \cdot \cos \frac{n}{2n-1}\leq\frac{2n}{ 2n^{2} -1 }}\)
Granica równa zero z tw. o 3 ciągach ?

czarodziej91 pisze:Czyżby chodziło o coś takiego:
\(\displaystyle{ -\frac{2n}{ 2n^{2} -1 } \leq \frac{2n}{ 2n^{2} -1 } \cdot \cos \frac{n}{2n-1}\leq\frac{2n}{ 2n^{2} -1 }}\)
Granica równa zero z tw. o 3 ciągach ?

Tak

Ok. Bardzo dziękuję. Temat do zamknięcia.