Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) będzie przestrzenią zwartą.
Wykazać, że każda izometria \(\displaystyle{ f :X \rightarrow X}\) jest suriekcją.

Mój pomysł był taki:
Intuicja mi podpowiada, że tak to trzeba zacząć od tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągłe.
To prosto, bo z def. izometrii mamy \(\displaystyle{ d(a,b)=d(f(a),f(b))}\)
Zatem wystarczy w def. Cauchiego wziąć \(\displaystyle{ \delta=\epsilon}\), zatem f jest ciągłe.

Zatem \(\displaystyle{ im f}\) musi być zwarty.
Teraz tu się powoli mi się kończą mi pomysły, chciałem jakoś wypowiedzieć się nad temat tej zwartości, przy założeniu, że f nie jest suriekcją. (Dowód ad absurdum)

Wskazówka: dla każdego \(\displaystyle{ n>0}\) każdy zbiór \(\displaystyle{ A\subseteq X}\) taki, że każde dwa różne jego punkty są odległe o więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), jest skończony (i jego moc jest ograniczona prze stałą zależną od \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ X}\)). Wybierz taki zbiór \(\displaystyle{ A_n}\) o największej liczbie elementów i rozważ obrazy zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) względem funkcji \(\displaystyle{ f}\).

krl pisze:Wskazówka: dla każdego \(\displaystyle{ n>0}\) każdy zbiór \(\displaystyle{ A\subseteq X}\) taki, że każde dwa różne jego punkty są odległe o więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), jest skończony (i jego moc jest ograniczona prze stałą zależną od \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ X}\)). Wybierz taki zbiór \(\displaystyle{ A_n}\) o największej liczbie elementów i rozważ obrazy zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) względem funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Nie wiele mi to pomogło, mógłbyś mi wytłumaczyć jak zastosować wskazówkę? (lub dać kolejną?)

Po pierwsze udowodnij, że wskazówka jest prawdziwa. Po drugie zbadaj, jaka metryczna własność obrazu \(\displaystyle{ f[A_n]}\) wynika z założeń.

krl pisze:Wskazówka: dla każdego \(\displaystyle{ n>0}\) każdy zbiór \(\displaystyle{ A\subseteq X}\) taki, że każde dwa różne jego punkty są odległe o więcej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), jest skończony (i jego moc jest ograniczona prze stałą zależną od \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ X}\)).

Dasio11 pisze:Po pierwsze udowodnij, że wskazówka jest prawdziwa.

Załóżmy, że A ma nieskończona ilość elementów.
Jeżeli \(\displaystyle{ X,d}\) jest zwarta to jest ograniczona, zatem istnieje taka kula o promieniu \(\displaystyle{ R}\), że zawiera wszystkie elementy \(\displaystyle{ X}\), zatem i też \(\displaystyle{ A}\)
Jeżeli tak to każdy element \(\displaystyle{ a\in A}\) ,ma pewną kulę, np. o promieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}}\) taką, że posiada puste przecięcie ze zbiorem \(\displaystyle{ A}\)
Dostajemy nieskończona ilość kul o skończonym promieniu, zawierającej się w skończonej kuli.
Sprzeczność. Prawidłowo?

Nie. są przestreznie metryczne ograniczone, w których znajdziesz nieskończenie wiele punktów parami odległych o 1.
Musisz jakoś inaczej wykorzystać zwartość.

No tak metryka dyskretna....

Przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylk owtedy, gdy z każdego ciągu da się wybrać podciąg...

To jeszcze wskazówka do części wskazówki w nawiasie (tzn, że jest ograniczenie na moc zbiorów \(\displaystyle{ A}\)). To się sprowadza do takiego zadania (w duchu Księgi Szkockiej):
Załóżmy, że mamy wiadro i pewien przeliczalny zbiór ziemniaków. Załóżmy, ze każdy skończony podzbiór tego zbioru ziemniaków można włożyć do wiadra. Udowodnić, że wszystkie ziemniaki można włożyć do wiadra.

Wsk. Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) nie jest na, to istnieje \(\displaystyle{ a\not\in f(X)}\) i \(\displaystyle{ d(a,f(X))>1/n}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\). Pomyśl teraz o zbiorze \(\displaystyle{ A_n}\), o którym pisał krl i jego obrazie.

Unforg1ven pisze:Załóżmy, że A ma nieskończona ilość elementów.

Już to założenie nie wprost jest nieprawidłowe. Powinno brzmieć: załóżmy, że dla każdego \(\displaystyle{ m \in \NN}\) istnieje podzbiór \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) mocy \(\displaystyle{ m}\), taki że każde dwa różne elementy \(\displaystyle{ A}\) są odległe o \(\displaystyle{ \ge \frac{1}{n}}\) (choć ja bym robił inaczej).

Załóżmy, że \(\displaystyle{ A_n}\) ma nieskończona ilość elementów. (przy ustalony n)
Wtedy bierzemy ciąg taki, że każdy element tego ciągu jest różny.
Ponieważ każdy ciąg element jest odległy o co najmniej \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), co za tym idzie nie znajdziemy podciągu zbieżnego, bo warunek w definicji nie będzie spełniony dla \(\displaystyle{ \epsilon<\frac{1}{n}}\)
Zatem otrzymujemy sprzeczność z zwartością \(\displaystyle{ X,d}\)


Tu głupie wątpliwości jakie mnie złapały, które są nic nie warte, ale zostawię -> Edit: Już rozumiem. Bo gdyby istniało nieskończenie punktów, że istniał by taki ciąg że... X nie było zwarte, zatem takiego zbioru punktów nie ma.

Co rozumiesz przez "puste otoczenie"? Żadne otoczenia punktu nie jest puste.

a4karo pisze:Co rozumiesz przez "puste otoczenie"? Żadne otoczenia punktu nie jest puste.

Tzn. Otoczenie punktu stanowi zbiór pusty.
Chodziło mi dla punktów zbioru \(\displaystyle{ A}\) i kuli o promieniu mniejszej niż \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\).

A skąd taki wniosek? Chyba nie rozumiesz o co chodzi we wskazówce krl

Chodzi o to, że zbiory o takiej własności, że odległość każdych dwóch elementów jest większa niż \(\displaystyle{ 1/n}\) nie mogą w przestrzeni zwartej być zbyt liczne.

Np.jeżeli \(\displaystyle{ X=[0,10]}\) to zbiór \(\displaystyle{ A_a}\) nie może zawierać więcej niż \(\displaystyle{ 10}\) elementów, a \(\displaystyle{ A_2}\) nie więcej niż \(\displaystyle{ 20}\)