Matematyka.pl

Cześć, mam takie równanie:
\(\displaystyle{ e^{z} = e^{iz}}\)

Próbowałam zamienić te liczby na inną postać, ale niestety do niczego to nie prowadzi. Jak to rozwiązać?

Liczy zespolone są sobie równe gdy ich moduły są sobie równe oraz gdy ich argumenty są równe z dokładnością do \(\displaystyle{ 2k \pi}\). Zatem równoważnie z \(\displaystyle{ e^{z} = e^{iz}}\) można zapisać

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-y \\ y=x+2k \pi \end{cases}}\)

zatem \(\displaystyle{ y=k \pi}\) a \(\displaystyle{ x=-k \pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\). Albo od razy zauważasz że z okresowość musi zachodzić \(\displaystyle{ z=iz+2k \pi i}\) co sprowadza się do tego samego dając \(\displaystyle{ z=-k \pi +k \pi i}\)