Matematyka.pl

Treść zadania: Wyznaczyć jądro i obraz przekształcenia macierzy
\(\displaystyle{ A = \left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
2 & 4 & 3 & 3\\
3 & 6 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0
\end{array}
\right]
\quad}\)

I gdy obliczam to metodą gaussa to za każdym razem dochodzę do momentu gdzie mam taką macierz i nie wiem czy mam skreślić wiersze podobne czy też jakoś zrobić z tego macierz trójkątną?
\(\displaystyle{ A = \left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
2 & 4 & 3 & 3\\
3 & 6 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0
\end{array}
\right]
\qquad \xrightarrow{W_2 - 2W_1}
\xrightarrow{W_3 - 3 W_1}
\xrightarrow{W_4 - W_1}
\left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
\qquad}\)

Możesz je po prostu wyzerować korzystając z drugiego wiersza (dodając do ostatniego i odejmując dwukrotnie od trzeciego).

Dobrze i teraz mam skreślić pozostałe wiersze zerowe czy co mam zrobić?
\(\displaystyle{ A =
\left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & -2 & 2\\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
\qquad
\xrightarrow{W_4 + W_2 }
\xrightarrow{ W_3 - 2 W_2}
\left[
\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
\qquad}\)

Najlepiej zapisać układ równań, który spełniają wektory z jądra.

hmm..coś takiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 2x_3 + x_4 = 0\\-x_3+x_4 = 0\end{cases}}\)

Po sprowadzeniu tego układu do postaci schodkowej dostajesz coś takiego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_4 = 0\\-x_3+x_4 = 0\end{cases}}\).

Parametryzujemy \(\displaystyle{ x_4=t}\), \(\displaystyle{ x_2=s}\), \(\displaystyle{ t, s\in\mathbb{R}}\) i wyznaczamy pozostałe rozwiązania z tego układu.

Do takiej postaci to sprowadzić?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + 2s + 3t = 0 \\ x_3 = t \end{cases}
\\
ker = \left\{ \left[ 1 \right],s\left[ 2\right],t\left[ 1\right] ,t\left[ 3\right] \right\}}\)

Harry_123 pisze: \(\displaystyle{ ker = \left\{ \left[ 1 \right],s\left[ 2\right],t\left[ 1\right] ,t\left[ 3\right] \right\}}\)

A co to znaczy?

Po dokonaniu takiej parametryzacji jak napisałem otrzymujesz wektor \(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4)=(-2s-3t,s,t,t)}\). Czyli każdy wektor z jądra jest właśnie takiej postaci. Wobec tego jakie wektory rozpinają przestrzeń \(\displaystyle{ \ker A}\)?

\(\displaystyle{ \left[ \frac{-3}{2}t,\frac{-3}{2}t,t,t\right]
\\
czyli
\left[ \frac{-3}{2},\frac{-3}{2},1,1\right]}\)
Zgadza się?

Nie, bez sensu. Może napisz po kolei krok po kroku skąd to się wzięło, to będzie mi łatwiej pokazać, co zrobiłeś źle.

\(\displaystyle{ -2s = 3t \\ s = \frac{-3}{2}t}\)

czyli jednak \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{-3}{2}t,t,t \right]}\) więc wyciągnąłem \(\displaystyle{ t}\) i mi wyszło:

\(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{-3}{2},1,1 \right]}\)

Harry_123 pisze:\(\displaystyle{ -2s = 3t \\ s = \frac{-3}{2}t}\)

Co oznacza ten fragment? Po co to przekształcasz? Napisałem jaka jest postać dowolnego wektora z jądra. Jakie wektory generują jądro? Podpowiem, że będą dwa.

Wektory \(\displaystyle{ \left[-3,0,1,1 \right]}\) i \(\displaystyle{ \left[ -2,1,0,0\right].}\)

Zgadza się. No i to właśnie jest baza jądra.

To teraz obraz. Obraz jest generowany przez kolumny tej macierzy, zatem należy znaleźć maksymalny układ liniowo niezależnych kolumn.

obraz to : \(\displaystyle{ \left[ 1, 2,3,1 \right], \left[ 0, -1,-2,1 \right]}\) ?