Matematyka.pl

Chce obliczyć
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi /2} \frac{1}{1+\tan^{p}(x)}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ p\in\mathbb{R}}\)

Podstaw \(\displaystyle{ u:= \frac{\pi}{2} - x}\) i coś zauważ.

Do całki podstawmy \(\displaystyle{ x=t+ \frac{\pi}{4}}\) co dało by

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{ \mbox{d}x }{1+\tan^{p}(x)}=\int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}} \frac{ \mbox{d}t }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}=}\)

a potem dodajmy i odejmiemy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) od całej tej funkcji co zapiszemy dalej

\(\displaystyle{ =\int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}}\left( \frac{1 }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}- \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\right) \mbox{d}t=\int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}}\left( \frac{1 }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}- \frac{1}{2}\right) \mbox{d}t+\int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}} \frac{1}{2} \mbox{d}t}\)

teraz zastanów się co ciekawego możesz powiedzieć o \(\displaystyle{ \int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}}\left( \frac{1 }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}- \frac{1}{2}\right) \mbox{d}t}\) a dokładnie o przedziale całkowania oraz funkcji podcałkowej...

Janusz Tracz pisze: teraz zastanów się co ciekawego możesz powiedzieć o \(\displaystyle{ \int_{\frac{ -\pi }{4}}^{\frac{ \pi }{4}}\left( \frac{1 }{1+\tan^{p}(t+\frac{ \pi }{4})}- \frac{1}{2}\right) \mbox{d}t}\) a dokładnie o przedziale całkowania oraz funkcji podcałkowej...

Nadal nie mam pomysłu, mógłbyś mi wytłumaczyć/lub dać jakaś dodatkową wskazówkę?

Pokaż że ta funkcja jest nieparzysta, zacznij od wspólnego mianowania i wzoru redukcyjnego dla tangensa. W razie problemów pisz śmiało.

Kaf pisze:Podstaw \(\displaystyle{ u:= \frac{\pi}{2} - x}\) i coś zauważ.

Mimo wszystko powyższa wskazówka prowadzi do prostszego (i szybszego) rozwiązania.

luka52 pisze:Jeśli powyższa całka to \(\displaystyle{ I(p)}\), to nietrudno sprawdzić, że \(\displaystyle{ I'(p) = 0}\) (bo wtedy pod całką jest funkcja nieparzysta względem środka przedziału całkowania). Samą zaś wartość najłatwiej jest wyznaczyć gdy \(\displaystyle{ p = 0}\).

370344.htm

Skoro rozwiązanie już się pojawiło to przedstawię swoje podejście bez wykorzystania pochodnych

Dzięki to jest genialne w swojej prostocie rozwiązanie. (Mówię o obu rozwiązaniach)