Grupa rzędu 100 zawiera dzielnik normalny rzędu 25.
: 13 sty 2019, o 11:45
Cześć.
Jak w temacie udowodnij, że grupa rzędu \(\displaystyle{ 100}\) zawiera dzielnik normalny rzędu \(\displaystyle{ 25}\).
Trzeba użyć dwóch twierdzeń związanych z twierdzeniem Sylowa:
1.liczba wszystkich \(\displaystyle{ p}\)-podgrup Sylowa grupy \(\displaystyle{ G}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ p}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\).
2.Jeżeli liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) dzieli rząd grupy \(\displaystyle{ G}\) to liczba wszystkich \(\displaystyle{ p}\)-podgrup Sylowa grupy \(\displaystyle{ G}\) dzieli rząd \(\displaystyle{ G}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ 100=5 ^{2}\cdot 4}\) oraz po kilku kalkulacjach wynika, że liczba wszystkich \(\displaystyle{ 5}\)-podgrup Sylowa grupy G wynosi \(\displaystyle{ 1}\).
I nie wiem co z tym dalej zrobić (a mam przesłanki, że to powinno coś dać)
Pozdrawiam.
Jak w temacie udowodnij, że grupa rzędu \(\displaystyle{ 100}\) zawiera dzielnik normalny rzędu \(\displaystyle{ 25}\).
Trzeba użyć dwóch twierdzeń związanych z twierdzeniem Sylowa:
1.liczba wszystkich \(\displaystyle{ p}\)-podgrup Sylowa grupy \(\displaystyle{ G}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ p}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\).
2.Jeżeli liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) dzieli rząd grupy \(\displaystyle{ G}\) to liczba wszystkich \(\displaystyle{ p}\)-podgrup Sylowa grupy \(\displaystyle{ G}\) dzieli rząd \(\displaystyle{ G}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ 100=5 ^{2}\cdot 4}\) oraz po kilku kalkulacjach wynika, że liczba wszystkich \(\displaystyle{ 5}\)-podgrup Sylowa grupy G wynosi \(\displaystyle{ 1}\).
I nie wiem co z tym dalej zrobić (a mam przesłanki, że to powinno coś dać)
Pozdrawiam.