Baza ortonormalna w przestrzeni Hilberta

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Baza ortonormalna w przestrzeni Hilberta

Post autor: max123321 » 11 sty 2019, o 20:04

Niech \(\left\{ e_n\right\}_{n=1}^{\infty}\) będzie bazą ortonormalną w przestrzeni Hilberta \(H\) z iloczynem skalarnym \(( \cdot , \cdot )\).
Wykaż, że \((e_n,x) \rightarrow 0\) dla każdego \(x \in H\).
Niech \(y \in l^{\infty}\) oraz \(u_n= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}y_ke_k\).
Wykaż, że \(|u_n| \rightarrow 0\)

Jak to zrobić?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom

Baza ortonormalna w przestrzeni Hilberta

Post autor: leg14 » 11 sty 2019, o 23:52

1. \(x\) może być zapisana jako kombinacja liniowa skonczonej liczby elementow z bazy

2. ile wynosi \(\left\langle u_n,u_n \right\rangle\)?
Ostatnio zmieniony 11 sty 2019, o 23:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Baza ortonormalna w przestrzeni Hilberta

Post autor: max123321 » 12 sty 2019, o 01:10

Możesz to rozpisac?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom

Baza ortonormalna w przestrzeni Hilberta

Post autor: leg14 » 12 sty 2019, o 11:06

A czemu Ty nie możesz tego rozpisać?
Skorzystaj z dwuliniowości iloczynu skalarengo i tego, że masz do czynienia z bazą ortonormalną

Kordyt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 242
Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Baza ortonormalna w przestrzeni Hilberta

Post autor: Kordyt » 12 sty 2019, o 12:47

A skad wiadomo ze mozna taka skonczona kombinacje znaleźć?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3121
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom

Re: Baza ortonormalna w przestrzeni Hilberta

Post autor: leg14 » 12 sty 2019, o 12:55

ojej racja nie wiadomo - ale możesz sobire Max przybliżać \(x\) dowolnie blisko skonczonymi kombinacjami bazy

Kordyt
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 242
Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Baza ortonormalna w przestrzeni Hilberta

Post autor: Kordyt » 12 sty 2019, o 13:18

Ja bym tu skorzystal z faktu ze skoro jest to baza ortonormalba to kazdy wektor \(x\) spelnia warunek
\(\Vert x\Vert ^2= \sum_{n=1}^{\infty} \left |(x,e_n)\right |^2\) .
Albo ogolnie z twierdzenia ze szereg po prawej str równości jest zbieżny (nierówność Bessela).

ODPOWIEDZ