Wykaż, że zbiór jest domknięty

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2358
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Wykaż, że zbiór jest domknięty

Post autor: max123321 » 11 sty 2019, o 18:21

Określamy funkcję \(I:L^2(0,1) \rightarrow \RR \cup \{ \infty \}\) wzorem

\(I(u) = \begin{cases} \int_{0}^{1} |u(t)^4| \, \dd t & \text{dla } u \in L^4(0,1) \\ +\infty & \text{dla } u \in L^2(0,1) \setminus L^4(0,1) \end{cases}\)

Wykazać, że \(\left\{ (u, \lambda) \in L^2(0,1) \times \RR : I(u) \le \lambda \right\}\) jest domknięty. Załóżmy, że \(u\in L^4(0,1)\), wykazać, że istnieje wtedy \(w\in L^2(0,1)\), że dla każdego \(h\in L^2(0,1)\) mamy
\(I(u+h)-I(u) \ge (h,w)\)
gdzie \((h,w)\) oznacza iloczyn skalarny w \(L^2(0,1)\).

Jak to zrobić?
Ostatnio zmieniony 14 sty 2019, o 17:50 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ