Matematyka.pl

Czy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest relatywnie zwarty w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\)?
\(\displaystyle{ X=\ell^{2}, A=\{(x_{1},x_{2},...)\in \ell^{2} : x_{n} \cdot x_{n+1}=0\}}\)

Rozumiem, że warunek ma zachodzić dla każdego \(\displaystyle{ n}\)?

Wsk. w \(\displaystyle{ A}\) łatwo znaleźć przeliczalny zbiór taki, że odległość między każdymi dwoma elementami jest równa \(\displaystyle{ 1}\).

Możesz też łatwo znaleźć nieograniczony podzbiór \(\displaystyle{ A}\)

A jakieś inne wskazówki?
Te wyżej nie wiem jak wykorzystać

A jest ograniczony?

Według mnie nie. Jeśli ma być spełniony warunek, że \(\displaystyle{ x_{n} \cdot x_{n+1}=0}\)to albo \(\displaystyle{ x_{n+1}=0}\) albo \(\displaystyle{ x_{n}=0}\) . Jeśli założę, że \(\displaystyle{ x_{n+1}=0}\) to ten drugi wyraz może być jakikolwiek , więc nie jest to ciąg ograniczony. Czy źle rozumuję?

OK. Wniosek?

Że nie jest ograniczony, czyli nie jest relatywnie zwarty?

A potrafisz uzasadnić ten wniosek.?

Niestety nie

Spróbuj. To łatwe

A czy nie wystarczy napsiac, że jest rozbieżny dlatego nie jest ograniczony?

A nie widziałeś ciągów rozbieżnych ale ograniczonych?

-- 5 lut 2019, o 20:20 --

A poza tym niograniczonosc już masz.

-- 5 lut 2019, o 20:21 --

Weź do ręki definicje zwartosci, warunkowej zwartosci. Jakie znasz twierdzenia o zbiorach zwartych?

W jaki sposób pokazac nieograniczoność tego zbioru?

Licząc normy elementów. Znajdź w nim element o normie np. 2019