niewymiernosc

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
piotrs67
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 10 kwie 2007, o 22:34
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy

niewymiernosc

Post autor: piotrs67 » 7 paź 2007, o 14:38

dowiedz ze liczba \(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{12}}\) jest liczba niewymierna

g-dreamer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie pamiętam.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 22 razy

niewymiernosc

Post autor: g-dreamer » 7 paź 2007, o 14:47

\(\displaystyle{ \cos(4*\frac{\pi}{12})=4\cos^4(\frac{\pi}{12})-8\cos^2(\frac{\pi}{12})+1=\frac{p}{q}\\
t=cos^2(\frac{\pi}{12})}\)

i powinno wyjść coś w stylu liczba niewymierna=cos(pi/12).

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

niewymiernosc

Post autor: Lorek » 7 paź 2007, o 19:14

Albo inaczej:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}=2\cos^2 \frac{\pi}{12}-1}\)
i już widać, że nie może być wymierny.

juvex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 4 paź 2007, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ja mam wiedzieć ?
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 3 razy

niewymiernosc

Post autor: juvex » 8 paź 2007, o 19:26

ja mam problem z takim przykładem \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) - \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) mam sprawdzić czy jest to liczba wymierna, a nie wiem jak to zrobić przez pierwiastek tzreciego stopnia

g-dreamer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie pamiętam.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 22 razy

niewymiernosc

Post autor: g-dreamer » 8 paź 2007, o 20:21

może tak:
niewprost
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{2}-\sqrt{2})=p-q,\ gdzie\ p,q W}\)
po podniesieniu do 3 potęgi wyjdzie, że \(\displaystyle{ p^3=2, q^3=2\sqrt{2}}\)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

niewymiernosc

Post autor: Piotr Rutkowski » 8 paź 2007, o 20:22

Nie można niestety tak sobie założyć, że jeśli \(\displaystyle{ (a-b)\in W a\in w b\in W}\)

g-dreamer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie pamiętam.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 22 razy

niewymiernosc

Post autor: g-dreamer » 8 paź 2007, o 20:24

Nie nooo, różnica liczb wymiernych jest liczbą wymierną. Indukcja odwrotna do Twojej jest prawdziwa.
//edit - masz rację

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

niewymiernosc

Post autor: Piotr Rutkowski » 8 paź 2007, o 20:30

Zobacz niech\(\displaystyle{ a=\sqrt{2} b=\sqrt{2}-1}\) W takim wypadku \(\displaystyle{ a,b NW}\), ale \(\displaystyle{ (a-b)=1\inW}\)

g-dreamer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie pamiętam.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 22 razy

niewymiernosc

Post autor: g-dreamer » 8 paź 2007, o 20:45

W takim razie może:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}-\sqrt{2}=w\\
\sqrt[3]{2}=w+\sqrt{2}\ |^3\\
2=w^3+3w^2\sqrt{2}+3w2+\sqrt{2^3}\\
\sqrt{2^3}=2\sqrt{2}}\)
Ostatnio zmieniony 8 paź 2007, o 21:38 przez g-dreamer, łącznie zmieniany 2 razy.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

niewymiernosc

Post autor: Piotr Rutkowski » 8 paź 2007, o 20:51

Tu też nie ma tak łatwo, bo nadal masz drugi kładnik postaci\(\displaystyle{ 3w^{2}\sqrt{2}}\), który tez jest niewymierny, a więc nie rozstrzyga to

micholak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Pomógł: 41 razy

niewymiernosc

Post autor: micholak » 8 paź 2007, o 21:10

Ale z tego ze
\(\displaystyle{ 2=w^{3}+3w^{2}\sqrt{2}+6w+2\sqrt{2}}\)
wynika ze
\(\displaystyle{ 3w^{2}+2}\) jest niewymierna, a i bym zapomnial, moze byc tez zero
(bo 2 jest wymierna)
Ostatnio zmieniony 8 paź 2007, o 21:14 przez micholak, łącznie zmieniany 1 raz.

juvex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 293
Rejestracja: 4 paź 2007, o 18:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ja mam wiedzieć ?
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 3 razy

niewymiernosc

Post autor: juvex » 8 paź 2007, o 21:12

a to jest prawidłowe rozwiązanie?
g-dreamer pisze:może tak:
niewprost
\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{2}-\sqrt{2})=p-q,\ gdzie\ p,q W}\)
po podniesieniu do 3 potęgi wyjdzie, że \(\displaystyle{ p^3=2, q^3=2\sqrt{2}}\)

g-dreamer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 28 lis 2006, o 00:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: nie pamiętam.
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 22 razy

niewymiernosc

Post autor: g-dreamer » 8 paź 2007, o 21:22

juvex: nie jest.
\(\displaystyle{ 0=w^3+3w^2\sqrt{2}+6w+2\sqrt{2}\\
3w^2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=-w^3-6w\\
\sqrt{2}=\frac{-w^3-6w}{3w^2+2}}\)

teraz chyba jest ok.

ODPOWIEDZ