Matematyka.pl

1. Wykaż, że rodzina \(\displaystyle{ T_{k}=\emptyset\cup \left\{ A\subset X:X\setminus A-\mbox{ zbiór skończony}\right\}}\) jest topologią na niepustym zbiorze \(\displaystyle{ X}\). Topologię tę nazywamy topologię skończoną.
2. Pokaż, że zbiór \(\displaystyle{ U\subset \RR^{n}}\) jest zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy gdy, \(\displaystyle{ \bigwedge_{x\in{U}} \bigvee_{r>0}B(x,r)\subset{U}}\) gdzie \(\displaystyle{ B(x,r)=\left\{ y\in\RR^{n}:d(x,y)<r\right\}.}\)
3.Podaj przykład dwóch topologii, które nie są porównywalne.
4. Podaj przykład zbioru \(\displaystyle{ X}\) i topologii \(\displaystyle{ T_{1},T_{2}}\) tak aby \(\displaystyle{ (X,T_{1}\cup{T_{2}})}\) nie było przestrzenią topologiczną.
5. Niech \(\displaystyle{ (X,T_{1}),(Y,T_{2})}\) będą dwoma przestrzeniami topologicznymi. Czy zawsze \(\displaystyle{ (X \times Y,T_{1}\times T_{2})}\) jest przestrzenią topologiczną?

Jakies proby wlasne?
Z czym masz problem konkretnie?

marcinszh pisze:1. Wykaż, że rodzina \(\displaystyle{ T_{k}=\emptyset\cup \left\{ A\subset X:X\setminus A-\mbox{ zbiór skończony}\right\}}\) jest topologią na niepustym zbiorze \(\displaystyle{ X}\). Topologię tę nazywamy topologię skończoną.

No tak zdefiniowana rodzina nie jest topologią, gdy zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, bo \(\displaystyle{ \emptyset\notin T_k}\)...

JK

marcinszh pisze:Czy zawsze \(\displaystyle{ (X \times Y,T_{1}\times T_{2})}\) jest przestrzenią topologiczną?

Standardowo rozumiane \(\displaystyle{ T_1 \times T_2}\) nawet nie jest rodziną podzbiorów \(\displaystyle{ X \times Y}\). Czy w tym zadaniu obowiązuje konwencja, że

\(\displaystyle{ T_1 \times T_2 = \{ U \times V : U \in T_1, V \in T_2 \}}\) ?

Jan Kraszewski pisze:

marcinszh pisze:1. Wykaż, że rodzina \(\displaystyle{ T_{k}=\emptyset\cup \left\{ A\subset X:X\setminus A-\mbox{ zbiór skończony}\right\}}\) jest topologią na niepustym zbiorze \(\displaystyle{ X}\). Topologię tę nazywamy topologię skończoną.

No tak zdefiniowana rodzina nie jest topologią, gdy zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, bo \(\displaystyle{ \emptyset\notin T_k}\)...

marcinszh, mam nadzieję, że zrozumiałeś, iż zapomniałeś o nawiasach klamrowych i powinno być

\(\displaystyle{ T_{k}=\left\{ \emptyset\right\} \cup \left\{ A\subset X:X\setminus A-\mbox{ zbiór skończony}\right\}.}\)

JK