Metoda przewidywań

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Metoda przewidywań

Post autor: fluffiq » 6 sty 2019, o 17:05

\(X' = \left[\begin{array}{ccc}1&-1&-2\\1&3&2\\1&-1&2\end{array}\right]X + \left[\begin{array}{c}t^{2}&t+1&2\end{array}\right]\)

Jak obliczyć to zdanie metoda przewidywań?

Korzystałem z wolframa alpha i obliczyłem sobie wartości własne i wektory własne:
\(\lambda_{1} = 2 + 2i\)
\(\lambda_{2} = 2-2i\)
\(\lambda_{3} = 2\)

\(v_{1} = (i,-i,1)\)
\(v_{2} = (-i,i,1)\)
\(v_{3} = (-1,-1,1)\)


i z tego mam coś takiego:

\(X_{b} = C_{1}\left(\begin{array}{c}i\\-i\\i\end{array}\right)e^{(2+2i)t} + C_{2} $$\left(\begin{array}{c}-i\\i\\1 \end{array}\right)e^{(2-2i)t} + C_{3} $$\left(\begin{array}{c}1\\-1\\ 1\end{array}\right)e^{2t}\)

Ktoś pomógłby mi to dalej rozwiązać? Bo czuję że nie dam rady.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Metoda przewidywań

Post autor: janusz47 » 10 sty 2019, o 13:48

\(x'_{1}(t) - x_{1}(t) + x_{2}(t) +2 x_{3}(t) = t^2 \ \ (1)\)

\(x'_{2}(t) - x_{1}(t) -3 x_{2}(t)-2 x_{3}(t) = t+1 \ \ (2)\)

\(x'_{3}(t) - x_{1}(t)+ x_{2}(t)- 2x_{3}(t) = 2 \ \ (3)\)


W celu znalezienia rozwiązania szczególnego układu równań różniczkowych liniowych I rzędu - prawe strony równań \((1), (2), (3)\) przewidujemy odpowiednio w postaci

\(x_{1}(t) = a\cdot t^2 + b\cdot t + c\)

\(x_{2}(t) = d\cdot t + e\)

\(x_{3}(t) = f.\)

Proszę obliczyć pochodne pierwszego rzędu i podstawić pochodne i funkcje do równań \((1), (2), (3)\) w celu znalezienia współczynników \(a, b, c, d, e, f,\) porównując ich strony.

Rozwiązanie ogólne układu równań jest sumą rozwiązania ogólnego układu jednorodnego i rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego.

ODPOWIEDZ