Twierdzenie odwrotne do tego o kącie środkowym i wpisanym

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Samboor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 15 wrz 2018, o 18:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3 razy

Twierdzenie odwrotne do tego o kącie środkowym i wpisanym

Post autor: Samboor » 5 sty 2019, o 22:53

Witam, czy istnieje coś takiego (i czy jest prawidłowe) jak twierdzenie odwrotne do twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym? Tzn. Jeśli kąt wewnątrz okręgu ma miarę dwukrotnie większą od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku to jest to kąt środkowy?
Dzięki za pomoc!

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1745
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 239 razy

Re: Twierdzenie odwrotne do tego o kącie środkowym i wpisany

Post autor: matmatmm » 5 sty 2019, o 23:36

Twierdzenie w wersji podanej przez ciebie nie zachodzi. Zachodzi natomiast coś takiego:

Załóżmy, że w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\), a punkt \(\displaystyle{ O}\) jest takim punktem, że leży on na symetralnej boku \(\displaystyle{ BC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BOC=2\alpha}\). Wówczas \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na \(\displaystyle{ \triangle ABC}\).

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 816
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Twierdzenie odwrotne do tego o kącie środkowym i wpisany

Post autor: PoweredDragon » 5 sty 2019, o 23:40

Takie tw. nie zachodzi. Wstęp do dowodu:

Narysuj okrąg. Oznacz łuk \(\displaystyle{ AB}\). Opisz okrąg na trójkącie \(\displaystyle{ ABO}\) (\(\displaystyle{ O}\) - środek tego pierwszego okręgu). Wniosek powinien nasunąć się sam.
Ostatnio zmieniony 6 sty 2019, o 01:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ