Całka podwójna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Całka podwójna

Post autor: Skynet » 7 paź 2007, o 13:37

Obliczyć całkę podwójną funkcji f w prostokącie
\(\displaystyle{ P = {(x, y); x i y }}\)
\(\displaystyle{ f(x,y) = \sqrt{x+y},\ a=0,\ b=2,\ c=2,\ d=4}\)

mógłby ktoś mi z tym pomóc
Z góry dzięki
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka podwójna

Post autor: luka52 » 7 paź 2007, o 14:48

Jeżeli obszarem jest prostokąt to sprawa jest dość prosta.
Masz problem z samym zapisaniem jak całka będzie wyglądać, czy też problem pojawia się przy obliczeniach

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Całka podwójna

Post autor: Skynet » 7 paź 2007, o 14:56

Przy obliczeniach.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka podwójna

Post autor: luka52 » 7 paź 2007, o 15:24

No dobrze - mamy zatem całkę:
\(\displaystyle{ \int\limits_0^2 t \limits_2^4 \sqrt{x+y} \, \mbox{d}y \, }\)
(ew. mogłeś wybrać najpierw całkowanie po dx a potem po dy, jednak niewielka to różnica)
Najpierw całkujemy po dy, więc wszystkie zmienne pórcz y traktujemy jako stałe.
Podstawiamy: \(\displaystyle{ t^2 = x + y, \quad dy = 2t \, dt}\), stąd przy całkowaniu po y otrzymamy:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x+y} \, \mbox{d}y = t 2 t^2 \, \mbox{d}t = \frac{2}{3}t^3 = \frac{2}{3} (x+y)^{3/2}}\)
Następnie musisz uwzględnić granice całkowania i pozostanie jeszcze całka po dx.
Ostatnio zmieniony 7 paź 2007, o 15:44 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Całka podwójna

Post autor: Skynet » 7 paź 2007, o 15:30

Już rozumiem tylko czy aby tam nie powinno być 2/3 a nie 3/2 w iloczynie?

Thx już rozwiązane do końca.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka podwójna

Post autor: luka52 » 7 paź 2007, o 15:43

Już rozumiem tylko czy aby tam nie powinno być 2/3 a nie 3/2 w iloczynie?
Tak, oczywiście masz rację - już poprawiam.

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Całka podwójna

Post autor: Skynet » 7 paź 2007, o 19:36

Obl. objętość bryły ograniczonej powierzchni:
\(\displaystyle{ a)\ z=x^{2}+y{2},\ x+y=4,\ y=0,\ x=0,\ z=0}\)
w tym przypadku funkcją podcałkową będzie chyba x+y+4=0, ale mam problem z określeniem granic całkowania
\(\displaystyle{ b)\ z=x^{2} + y^{2}, x+z =0}\)
a tutaj totalnie brakuje mi pomysłów

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka podwójna

Post autor: luka52 » 7 paź 2007, o 19:42

A ta objętość to ma być obliczona za pomocą całki podwójnej, czy potrójnej?

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Całka podwójna

Post autor: Skynet » 7 paź 2007, o 19:46

Chodzi o całkę podwójną.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka podwójna

Post autor: luka52 » 7 paź 2007, o 19:51

Skynet pisze:w tym przypadku funkcją podcałkową będzie chyba x+y+4=0
Nie, gdyż bryła jest ograniczona od góry przez pow. o r. \(\displaystyle{ z = x^2 + y^2}\) i od dołu przez z = 0.
Więc należy obliczyć:
\(\displaystyle{ \int\limits_0^4 t\limits_0^{4-x} x^2 + y^2 \, \mbox{d}y \, }\)

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Całka podwójna

Post autor: Skynet » 7 paź 2007, o 19:55

A na jakiej podstawie x określiłeś w przedziale od 0 do 4??

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka podwójna

Post autor: luka52 » 7 paź 2007, o 19:59

Rzutując tą bryłę na płaszczyznę \(\displaystyle{ OXY}\) otrzymujemy trójkąt ograniczony przez \(\displaystyle{ x=0, \ y = 0, \ y = 4 - x}\) stąd wyznaczamy granice całkowania (podstawą jest zawsze wykonanie rysunku).

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Całka podwójna

Post autor: Skynet » 7 paź 2007, o 20:03

A jak będzie to się miało w drugim przypadku?
Próbuję narysować rysunek dla drugiego podpunktu ale coś nie bardzo. Nie wiem jak to mam przełożyć na zakres dla x i y.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka podwójna

Post autor: luka52 » 7 paź 2007, o 21:03

Druga jest nieco ciekawsza
Funkcją podcałkową będzie \(\displaystyle{ -x - (x^2 + y^2)}\).
Aby wyznaczyć obszar całkowania musisz zrzutować bryłę na płaszczyznę OXY (rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = -x}\) względem y (lub x - jak chcecz), rysujesz sobie ten obszar i wyznaczasz granice).

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Całka podwójna

Post autor: Skynet » 7 paź 2007, o 21:15

Czyżby \(\displaystyle{ -1 qslant x qslant 0}\)
\(\displaystyle{ 0 qslant y qslant \sqrt{-x^{2}-x}}\)

ODPOWIEDZ